高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题课时规范练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲圆锥曲线的综合问题一、选择题1．已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1·PF2的最大值是()A．－2B．1C．2D．4解析：设P(x，y)，依题意得点F1(－，0)，F2(，0)，PF1·PF2＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，因为－2≤x≤2，所以－2≤x2－2≤1，因此PF1·PF2的最大值是1.答案：B2．(2017·沈阳二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2B.C.D.解析：根据题意，点P在抛物线y＝2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y，其准线方程为y＝－，所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min＝.答案：D3．(2017·北京西城区调研)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l与双曲线C：－y2＝1的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1·x2＞0，则k的取值范围是()(导学号55410132)A.B.∪C.D.∪解析：易知双曲线两渐近线y＝±x，当k＞或k＜－时，l与双曲线的右支有两个交点，满足x1x2＞0.答案：D4．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[1，3)C．(0，)D．(0，1]解析：依题意，当0＜m＜3时，焦距在x轴上，要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°，即≥.解得0＜m≤1.答案：D5．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为()A．(0，1)B．(0，2)C．(2，0)D．(1，0)解析：设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝－x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝－x2x－y2，又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程，代入得－2＝－x1t－y1，－2＝－x2t－y2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝－xt－y，则直线AB的方程为y－2＝－tx，直线AB恒过点(0，2)．答案：B二、填空题6．设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．解析：双曲线C：－＝1的一条渐近线为y＝x，联立消去y，得x2＝x.由x0＞1，知＜1，b2＜a2.所以e2＝＝＜2，因此1＜e＜.答案：(1，)7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则FP·FQ的最小值为________．解析：如图，FP·FQ＝|FP|2＝|FQ|2－1.由抛物线的定义知：|FQ|＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|FQ|min＝2，所以FP·FQ的最小值为3.答案：38．(2017·济南模拟)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．解析：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)(y2＜0)．则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝＋y1.又y1y2＝－p2＝－4.所以|AC|＋|BD|＝－(y2＜0)．利用导数易知y＝－在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当y2＝－2时，|AC|＋|BD|的最小值为3.答案：3三、解答题9．(2017·西安调研)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围．解：(1)由题意得解得故椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y－＝k(x－1)，代入方程＋y2＝1，消去y，得(1＋4k2)x2＋(4k－8k2)x＋(4k2－4k－1)＝0，所以xQ·1＝.因为0＜xQ＜1，所以0＜＜1，即解得－＜k＜或k＞，经检验，满足题意．所以直线l斜率k的取值范围是－＜k＜或k＞.10．(2017·新乡三模)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(导学号55410133)(1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值；(2)是否存在实数p，使|2QA＋QB|＝|2QA－QB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2)，所以F(0，2)，则抛物线C的方程为x2＝8y，准线l：y...