高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

§1.2.1几个常用函数的导数§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列结论不正确的是A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝，则y′＝－C．若y＝，则y′＝D．若y＝x，则y′＝1解析对于A，常数的导数为零，故A正确；对于B，y′＝(x)′＝－x＝－，故B错误；对于C，y′＝(x)′＝x＝，故C正确；对于D，y′＝x′＝1，故D正确．答案B2．已知曲线f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有A．1条B．2条C．3条D．不确定解析∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，切点有两个，即可得切线有两条．答案B3．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为A．1B．2C．eD.解析由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|＝e0＝1.答案A4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2解析由题意，得y′＝3x2－2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝3－2＝1.由直线的点斜式方程，得切线方程为y＝x－1.1答案A5．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析通解因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1.所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.优解一因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.优解二易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.答案D6．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析y′＝(x4)′＝4x3.设切点为(x0，y0)，则4x×＝－1，∴x0＝1.∴切点为(1，1)．∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，故选A.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知f(x)＝x2＋2xf′，则f′＝________．解析对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2f′，f′＝2×＋2f′，所以f′＝.答案28．已知f(x)＝lnx，且f′(x0)＝，则x0＝________．解析f′(x)＝，所以f′(x0)＝，又f′(x0)＝，所以＝，x0＝1.答案19．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．解析因为y′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.答案2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，且过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．解析∵抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.又∵经过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，其斜率为4，f′(x)＝2ax＋b，∴f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0，故解得11．(12分)已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．解析设两曲线的交点为(x0，y0)，f′(x)＝，g′(x)＝，x＞0，由已知得解得a＝e，x0＝e2.∴两条曲线的交点坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，所以切线方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.12．(13分)设抛物线y＝x2与直线y＝x＋a(a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处的切线分别为l1，l2，求a值变化时l1与l2交点的轨迹．3解析将y＝x＋a代入y＝x2整理得x2－x－a＝0，①为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须Δ＝(－1)2＋4a>0，所以a>－.设此两交点为(α，α2)，(β，β2)，α<β，由y＝x2知y′＝2x，则切线l1，l2的方程为y＝2αx－α2，y＝2βx－β2.设两切线交点为(x，y)，则.②因为α，β是①的解，由根与系数的关系，可知α＋β＝1，αβ＝－a.代入②可得x＝，y＝－a<.从而，所求的轨迹为直线x＝上的y<的部分．4