高中数学 第六章 推理与证明 6.3 数学归纳法（1）分层训练 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP免费

6.3数学归纳法(一)一、基础达标1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出()A．当n＝6时命题不成立B．当n＝6时命题成立C．当n＝4时命题不成立D．当n＝4时命题成立答案B2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对答案B解析由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于()A．1B．2C．3D．0答案C解析因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是()A．1B.C．1＋＋D．以上答案均不正确答案C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．答案1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1解析由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项．6．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝________.答案f(k)＋＋＋－7．用数学归纳法证明…＝(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即…＝，当n＝k＋1时，…·＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时等式也成立．1由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.答案B解析n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)．9．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋答案D解析观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1.10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________．答案缺少步骤(1)，没有递推的基础证明假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．11．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．(2)假设当n＝k时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，那么当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k·(k＋1)＝(－1)k·＝(－1)k＋1－1·.即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．(1)解a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝.2(2)证明①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即ak＝5×2k－2，当n＝k＋1时，由已知条件和假设有ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.＝5＋＝5×2k－1＝5×2(k＋1)－2.故n＝k＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝.三、探究与创新13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解(1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝.那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.又Sk＝1－kak＝，所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，从而ak＋1＝＝.即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立.3