3.1.2空间向量的数乘运算课时演练·促提升A组1.当|a|=|b|≠0,且a,b不共线时,a+b与a-b的关系是()A.共面B.不共面C.共线D.无法确定解析:空间中任何两个向量都是共面向量,但不一定共线.答案:A2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=x+y(),则()A.x=1,y=B.x=1,y=C.x=,y=1D.x=1,y=解析:∵),又=x·+y(),故x=1,y=.答案:D3.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D解析:∵=2a+4b=2,∴A,B,D三点共线,故选A.答案:A4.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6+2+3,则()A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面解析:由6+2+3,得=2()+3(),即=2+3,故共面,又它们有公共点P,因此P,A,B,C四点共面.答案:B5.下面关于空间向量的说法正确的是()A.若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面C.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面D.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面解析:可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内,因此空间任意两个向量都是共面的,故B,C都不正确.注意向量平行与直线平行的区别,可知A不正确,可用反证法证明D是正确的.答案:D6.非零向量e1,e2不共线,则使ke1+e2与e1+ke2共线的k=.解析:若ke1+e2与e1+ke2共线,则ke1+e2=λ(e1+ke2),即故k=±1.答案:±17.已知点M在平面ABC内,并且对空间任一点O,=x,则x的值为.解析:因为点M在平面ABC中,即M,A,B,C四点共面,所以x+=1.即x=.答案:8.如图,设A是△BCD所在平面外的一点,G是△BCD的重心,求证:).证明:如图,连接BG,并延长BG交CD于点E.由G为△BCD的重心,知.由题意,知E为CD的中点,则,1)=[()+()]=).9.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且.求证:四边形EFGH是梯形.证明:∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴,∴.又∵)=,∴.∴,||=|.又∵点F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.B组1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则)等于()A.B.C.D.解析:)=×(2)=.答案:A2.已知G为正方形ABCD的中心,点P为正方形ABCD所在平面外一点,则等于()A.4B.3C.2D.解析:=()+()=2+2=4.答案:A3.如图,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD的中点,则满足=x+y+z的实数x=,y=,z=.解析:如图,在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,连接MF,则.∵),=-,∴=-,∴x=-,y=-,z=.答案:--4.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,请判断是否共线?解:共线.如图,取AC中点G,连接EG,FG,2则.又∵共面,∴=).即共线.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1和A1D1的中点.证明:向量是共面向量.证明:==)-.由向量共面的充要条件,知是共面向量.6.已知向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2共面.若a=mb+nc,试求实数m,n的值.解:λa+μb+γc=λ(e1+e2)+μ(3e1-2e2)+γ(2e1+3e2)=(λ+3μ+2γ)e1+(λ-2μ+3γ)e2.如果λ,μ,γ适合方程组那么就能使λa+μb+γc=0.令λ=-13,可得μ=1,γ=5,得-13a+b+5c=0,则a=b+c,即向量a,b,c共面.故实数m,n的值分别为.3
