第1讲基础小题部分一、选择题1．(2018·高考浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是()A．(－，0)，(，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－)，(0，)D．(0，－2)，(0,2)解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选B.答案：B2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.B.C.D.解析： a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.故选C.答案：C3．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.又 离心率＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0)．∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.故选A.答案：A4．(2018·忻州一模)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为()A．x＋2y－5＝0B．x－2y－5＝0C．x－2y＋5＝0D．x＋2y＋5＝0解析：因为以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，所以圆的方程为x2＋y2＝5.因为kOP＝2，所以切线的斜率k＝－.由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.故选A.答案：A5．(2018·漯河二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2＝2py(p>0)的焦点重合，直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p等于()A．4B．3C．2D．1解析：由抛物线x2＝2py(p>0)可知其焦点为(0，)，所以b＝，又a＝2，因此双曲线的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.直线y＝kx－1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k＝，由可得x2＝2p(x－1)＝x－2p，即x2－x＋2p＝0，则Δ＝(－)2－8p＝0，解得p＝4.故选A.答案：A6．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B．2C.D．2解析：由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a＞0，b＞0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2，故选D.答案：D7．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y2＝4x的准线的一个交点的纵坐标为y0，若|y0|<2，则双曲线C的离心率的取值范围是()A．(1，)B．(1，)C．(，＋∞)D．(，＋∞)解析：因为抛物线的准线方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以|y0|＝<2，所以e＝<，又e>1，所以10，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A．4B.C.D.解析：由双曲线的定义知，|BF1|－|BF2|＝2a.又因|AB|＝|BF2|，所以|AF1|＝2a，又由定义可得，|AF2|＝4a.在三角形AF1F2中，因为|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝120°，所以由余弦定理得，(2c)2＝(2a)2＋(4a)2－2·2a·4a·cos120°，解得c2＝7a2，所以e＝＝.故选B.答案：B9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于()A．2B．3C．4D．5解析：设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1,0)，D(－1,0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有＝，所以|AA1|＝，故|AF|＝.又＝，即＝，亦即＝，解得|BF|＝4，故选C.答案：C10．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是()A.B.C.D.解析：设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2－|ME|)＋(2－|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L＝4＋|MN|－|ME|－|NE|≤4，即直线x＝a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN＝×|MN|×|EF|＝××2＝，故选C.答案：C11．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A、B两点，过线段AB的中点作x轴的垂线，交抛物线C于点Q.若QA·QB＝0，则p＝()A.B.C.D.解析：联立抛物线x2＝2py与直线y＝2x＋2的方程，消去y得x2－4px－4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16p2＋16p>0，x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，所以Q(2p,2p)．因为QA·QB＝0，所以(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p...
