课时作业47椭圆[基础达标]一、选择题1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋y2＝1或＋＝1D．以上答案都不对解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案：C2．[2019·武汉高中调研]曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(09－k>0，所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a2，短半轴长为b2，半焦距为c2，则c＝a－b＝25－k－(9－k)＝16.曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c1，则c＝a－b＝25－9＝16，所以曲线C1和曲线C2的焦距相等，故选D.答案：D3．[2019·湖北中学联考]已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为()A.B．1C.D.解析：不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)．故选D.一题多解由椭圆的通径公式得|AB|＝＝3，则S△ABF1＝×2×3＝3，又易得△ABF1的周长C＝4a＝8，则由S△ABF1＝C·r可得r＝.故选D.答案：D4．[2019·石家庄质量检测]倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得，∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，又AF＝2FB，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得，∴＝，∴e＝，故选B.答案：B5．[2019·陕西西安八校联考]某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为a，圆锥的底面半径为a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a，其1离心率e＝＝，选C.答案：C二、填空题6．椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B，则椭圆的离心率为________．解析：以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点B，则FB⊥AB，所以FB·AB＝0，FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)，所以FB·AB＝b2－ac＝0，即a2－c2－ac＝0.两边同除以a2，得e2＋e－1＝0，所以e＝.答案：7．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是____________．解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．由题意知解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝18．[2019·山西月考]设F1、F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为______________．解析： △F2AB是面积为4的等边三角形，∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，∴＝×2c①.又S△F2AB＝×2c×＝4②，a2＝b2＋c2③，由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.答案：＋＝1三、解答题9．[2019·贵州适应性考试]设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右、右焦点，E的离心率为，点(0,1)是E上一点．(1)求椭圆E的方程；(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且BF1＝2F1A，求直线BF2的方程．解析：(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，则y1＋y2＝，①y1y2＝－，②因为F1(－1,0)，所以BF1＝(－1－x2，－y2)，F1A＝(x1＋1，y1)，由BF1＝2F1A可得，－y2＝2y1，③由①②③可得B，则kBF2＝或－，所以直线BF2的方程为y＝x－或y＝－x＋.10．[2019·广东...
