课后限时集训(四十五)(建议用时:60分钟)A组基础达标一、选择题1.(2018·浙江高考)双曲线-y2=1的焦点坐标是()A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)B[ 双曲线方程为-y2=1,∴a2=3,b2=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴c===2,即得该双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).故选B.]2.双曲线-=1的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为()A.2B.C.D.C[由渐近线互相垂直可知·=-1,即a2=b2,即c2=2a2,即c=a,所以e=.]3.(2018·青岛二模)直线l:x-2y-5=0过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则该双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1A[根据题意,令y=0,则x=5,即c=5.又=,所以a2=20,b2=5,所以双曲线的方程为-=1.]4.(2019·湖南师大附中模拟)已知A是双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,G是△PF1F2的重心,若存在实数λ使得GA=λPF1,则双曲线的离心率为()A.3B.2C.4D.与λ的取值有关A[由题意,可知|PG|=2|GO|,GA∥PF1,∴2|OA|=|AF1|,∴2a=c-a,∴c=3a,∴e=3.]5.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.D[由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.]二、填空题6.已知(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b=________.[因为(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,所以1+b2=4,则b=.]7.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为________.2[双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,焦点F(c,0)到渐近线的距离d==b.∴b=c,∴a==c,∴e==2.]8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率大于,则m的取值范围为________.(0,1)∪(4,+∞)[由双曲线方程可得m>0,所以e=>,解得m>4或m<1.由m>0,故可得m的取值范围为(0,1)∪(4,+∞).]三、解答题9.已知椭圆D:+=1与圆M:x2+(y-5)2=9.双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.[解]椭圆D的两个焦点为F1(-5,0),F2(5,0),因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.设双曲线G的方程为-=1(a>0,b>0),∴渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.∴=3,得a=3,b=4,∴双曲线G的方程为-=1.10.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·MF2=0.[解](1) e=,∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0). 双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线的方程为x2-y2=6,即-=1.(2)证明:法一:由(1)可知,a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴kMF1=,kMF2=,kMF1·kMF2==-. 点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2=0.法二:由(1)可知,a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),MF1=(-2-3,-m),MF2=(2-3,-m),∴MF1·MF2=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2, 点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴MF1·MF2=0.B组能力提升1.(2019·湖南四校联考)已知A,B,P是双曲线-=1(a>0,b>0)上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=3,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2D.3C[由双曲线的对称性知,点A,B关于原点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x2,y2),则-=1,-=1,又kPA=,kPB=,所以kPA·kPB===3,所以离心率e==2,故选C.]2.(2018·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的...