2.4.1抛物线的标准方程[基础达标]已知抛物线的准线方程是x＝－7，则抛物线的标准方程是________．解析：由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，准线方程是x＝－，则－＝－7，解得p＝14，故所求抛物线的标准方程为y2＝28x.答案：y2＝28x抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标是________．解析：y＝x2(a≠0)化为标准方程x2＝ay，故焦点坐标为.答案：已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．解析：抛物线的准线为x＝－，将圆的方程化简得到(x－3)2＋y2＝16，准线与圆相切，则－＝－1⇒p＝2.答案：2动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________．解析：由题意知，点P的轨迹是以点F(2，0)为焦点，以直线x＋2＝0为准线的抛物线，所以p＝4，得出抛物线方程为y2＝8x，即为所求．答案：y2＝8x以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析： 双曲线的方程为－＝1，∴右顶点为(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.故填y2＝16x.答案：y2＝16x抛物线x2＝4ay(a≠0)的准线方程为________．解析： 抛物线的焦点在y轴上，∴准线方程为y＝－，即y＝－a.答案：y＝－a过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若AF＝3，则BF＝________．解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点为F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知AF＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±2，由抛物线关于x轴对称，假设A(2，2)．由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝2(x－1)，代入抛物线方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故BF＝.答案：已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：过A，B分别作准线l的垂线AD，BC，垂足分别为D，C，M是线段AB的中点，MN垂直准线l于N，由于MN是梯形ABCD的中位线．所以MN＝.由抛物线的定义知AD＋BC＝AF＋BF＝3，所以MN＝，又由于准线l的方程为x＝－，所以线段AB中点到y轴的距离为－＝，故填.答案：平面上动点P到定点F(1，0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．解：法一：设P(x，y)，则有＝|x|＋1，两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.∴y2＝故点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．法二：由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1.由于F(1，0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P在以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P(4，2)，求抛物线的方程；(2)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点A(m，4)到其焦点的距离为，求p与m的值．解：(1) 抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，1∴抛物线的方程为标准方程．又 点P(4，2)在第一象限，∴抛物线的方程设为y2＝2px，x2＝2py(p>0)．当抛物线为y2＝2px时，则有22＝2p×4，故2p＝1，y2＝x；当抛物线为x2＝2py时，则有42＝2p×2，故2p＝8，x2＝8y.综上，所求的抛物线的方程为y2＝x或x2＝8y.(2)由抛物线方程得其准线方程y＝－，根据抛物线定义，点A(m，4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋＝，解得p＝；∴抛物线方程为：x2＝y，将A(m，4)代入抛物线方程，解得m＝±2.[能力提升]在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解析：直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.答案：若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．解析：把双曲线－＝1化为标准形式－＝1，故c2＝3＋，c＝＝，左焦点，由题意知，抛物线的准线方程为x＝－，又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，所以－＝－，解得，p＝4或p＝－4(舍去)．故p＝4.答案：4抛物线顶点在原点，它的...
