专题2.9函数图象高与低差值正负恒成立【题型综述】数形结合好方法：对于函数与的函数值大小问题，常常转化为函数的图象在上方（或下方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数，即利用作差法，转化为论证恒成立问题.【典例指引】例1．设函数.（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；（2）求证：.【思路引导】（1）将问题转化为不等式在上恒成立，求实数的取值范围的问题。可构造函数，经分类讨论得到恒成立时的取值范围即可。（2）先证明对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，结合（1）③的结论，当，时在上成立，然后令可得成立，再令即可得不等式成立。②当时，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，所以，不合题意；③当时，令，则当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，所以，而且仅有，不合题意.综上所求实数的取值范围是.（2）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，变形为恒成立，在（1）③中，令，，则得在上单调递减，所以，即，令，则得成立.当时，可得.即，所以成立。点睛：本题难度较大，解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在（1）中将问题转化为不等式恒成立的问题处理，在解题中需要在对参数m分类讨论的基础上再求其值。（2）中的问题更是考查学生的观察分析问题的能力，在得到需要证明不等式成立的基础上仍需作出相应的变形，并利用上一问的结论来解决，所以需要学生具有较强的想象力。例2．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．【思路引导】（1）求出函数的导数，利用导数判断的单调性，并求出单调区间；（2）构造函数，利用导数证明在上为增函数，且求得得答案.点睛：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数学转化思想方法与分类讨论思想思想方法，是中档题；利用导数求解函数单调性的一般步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.例3．已知函数，为其导函数.(1)设，求函数的单调区间；(2)若，设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为证明：.【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得增区间，得减区间即可；（2）问题转化为证明令，根据函数单调性证明即可.(2)法一：，故在定义域上单调递增.只需证：，即证(*)注意到不妨设.令，则，从而在上单减，故，即得(*)式.取，则显然有，从而，另外由三次函数的中心对称性可知，则有.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.【同步训练】1．已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；（3）证明：.【思路引导】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）时，，，设，求出函数的导数，利用导数性质推导出恒成立，由此能证明的图象恒在图象的上方；（3）由，设，求出函数的导数，从而，令，得，从而证明结论成立即可.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查将问题转化为恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，此题最大的难点在于构造法证明不等式.2．已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得对任意的...
