第2课时圆与圆的位置关系课后篇巩固探究1.圆x2+y2=16和圆(x-4)2+(y+3)2=R2(R>0)在交点处的切线互相垂直,则R等于()A.3B.4C.5D.6解析由题意知两圆的一个交点与两圆圆心构成直角三角形,则52=R2+16,所以R=3.答案A2.圆x2+y2-2y-3=0与圆x2+y2+2x=0的公共弦长为()A.√14B.√142C.√144D.√72解析两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为2x+2y+3=0,又圆x2+y2+2x=0的圆心(-1,0)到公共弦的距离d=12√2=√24,于是公共弦长l=2√12-(√24)2=√142.答案B3.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m的值为()A.21B.19C.9D.-11解析圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=√25-m,从而|C1C2|=√32+42=5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+√25-m=5,解得m=9,故选C.答案C4.若两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.4√2C.8D.8√2解析由题意可设两圆的方程均为(x-r)2+(y-r)2=r2.将(4,1)代入上述方程,可得(4-r)2+(1-r)2=r2,所以r2-10r+17=0.所以此方程的两个根r1,r2分别为两圆的半径,所以两圆心的距离|C1C2|=√(r1-r2)2+(r1-r2)2=√2×√(r1+r2)2-4r1r2=√2×√100-4×171=√2×4√2=8.答案C5.设集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2(r>0)},当M∩N=N时,r的取值范围是()A.[0,√2-1]B.[0,1]C.(0,2-√2]D.(0,2)解析集合M表示以原点O(0,0)为圆心,半径等于2的圆面(圆及圆的内部),集合N表示以C(1,1)为圆心,半径等于r的圆面(圆及圆的内部).当M∩N=N时,圆C内含或内切于圆O,故有|CO|≤2-r,即√2≤2-r,所以0
1+2=3,∴圆A与圆B相离,因此两圆的公切线有4条,即直线l有4条,故选D.答案D7.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a的值为.解析圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r1=2,圆x2+y2-2ax+a2-1=0,即为(x-a)2+y2=1,圆心为(a,0),半径r2=1,依题意有|a|=1,所以a=±1.答案±18.点P在圆C1:x2+(y+3)2=4上,点Q在圆C2:(x+3)2+(y-1)2=9上,则|PQ|的最大值为.解析由已知可得C1(0,-3),r1=2,C2(-3,1),r2=3,则|C1C2|=√32+(-4)2=5.∴|PQ|的最大值为5+r1+r2=10.答案109.半径为3且与圆x2+y2-2x+4y+1=0外切的圆的圆心的轨迹方程是.2解析圆x2+y2-2x+4y+1=0可化为(x-1)2+(y+2)2=4,故其圆心为(1,-2),半径为2,因为两圆外切,所以圆心距为3+2=5,因此动圆的圆心到点(1,-2)的距离等于5,其轨迹是以(1,-2)为圆心,半径等于5的圆,其方程是(x-1)2+(y+2)2=25.答案(x-1)2+(y+2)2=2510.求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.解设所求圆的方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),即x2+y2-41+λx-4λ1+λy-6=0,所以圆心坐标为(21+λ,2λ1+λ).又圆心在直线x-y-4=0上,所以21+λ−2λ1+λ-4=0,解得λ=-13.故所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.11.导学号91134064若集合A={(x,y)|x2+y2=16},集合B={(x,y)|x2+(y-2)2=a-1},当A∩B=⌀时,求a的取值范围.解由题意知,此题应分三种情况:(1)B=,⌀则a<1.(2)B≠,⌀且B中只有一个元素,则a-1=0,即a=1,{x=0y=2.点(0,2)不在集合A中,满足题意.(3)集合B中含有无数个元素,则两个集合所表示的圆内含或相离,圆x2+y2=16的圆心为O1(0,0),半径为4,圆x2+(y-2)2=a-1的圆心为O2(0,2),半径为√a-1,所以a>1.|O1O2|=√(0-0)2+(2-0)2=2.①当两圆内含时,|O1O2|<4-√a-1或|O1O2|<√a-1-4,即2<4-√a-1或2<√a-1-4,解得137;3②当两圆相离时,|O1O2|>4+√a-1,即2>4+√a-1,无解.综上所述,a的取值范围是a<5或a>37.4
