第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α(α≠)，则斜率k＝tan_α．(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用[小题体验]1．(教材习题改编)若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m＝________．答案：－22．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．答案：x＋13y＋5＝03．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________．解析：令x＝0，则l在y轴的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋．依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2．答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．经过点A(2，－3)，倾斜角等于直线y＝x的2倍的直线方程为________．解析：直线y＝x的斜率k＝1，故倾斜角为，所以所求的直线的倾斜角为，则所求的直线方程为x＝2．答案：x＝22．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k＝－，所以y＝－x，即4x＋3y＝0．②若直线不过原点．设＋＝1，即x＋y＝a．则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0．答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0[题组练透]1．(2016·绥化一模)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B．∪C．D．∪解析：选B因为直线xsinα＋y＋2＝0的斜率k＝－sinα，又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1．设直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tanθ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是∪．2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析： kAC＝＝1，kAB＝＝a－3．由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4．答案：43．若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－．令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞．故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪．答案：(－∞，－1)∪[谨记通法]1．倾斜角与α斜率k的关系当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞．当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．[典例引领](1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－．又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0．(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0．故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0．[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于...
