2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题20平面向量的概念及其线性运算理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【热点题型】题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．②④C．③④D．②③④【答案】A【解析】【提分秘籍】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．【举一反三】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】题型二平面向量的线性运算【例2】(1)在△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A.a－bB.a－bC.a－bD.a－b(2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________．【答案】(1)D(2)2【解析】(1) a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝，CD＝，∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1.∴AD＝AB＝(CB－CA)＝a－b.(2)因为ABCD为平行四边形，所以AB＋AD＝AC＝2AO，已知AB＋AD＝λAO，故λ＝2.【提分秘籍】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【举一反三】(1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝()A．a－bB.a－bC．a＋bD.a＋b(2)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.AD＋BE＋CF＝0B.BD－CF＋DF＝0C.AD＋CE－CF＝0D.BD－BE－FC＝0【答案】(1)D(2)A【解析】(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，所以AD＝AC＋CD＝b＋a.(2)由题意知：AD＝FE，BE＝DF，CF＝ED，而FE＋ED＋DF＝0，∴AD＋BE＋CF＝0.题型三共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【提分秘籍】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．【举一反三】(1)已知向量i与j不共线，且AB＝i＋mj，AD＝ni＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1(2)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，则＋的值为________．【答案】(1)C(2)3【解析】【高考风向标】【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（）（A）(B)（C）(D)【答案】A【解析】由题知=，故选A.1．（2014·辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∨(綈q)【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．2．（2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．【答案...
