考点八导数及其应用一、选择题1．求曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，其中正确的是()A．S＝(x2－x)dxB．S＝(x－x2)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y－)dy答案B解析依题意，在同一坐标系下画出曲线y＝x2与直线y＝x的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为(x－x2)dx，选B.2．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案A解析如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.3．(2019·天津南开区模拟)过函数f(x)＝x3－x2图象上一个动点作图象的切线，则切线倾斜角的范围是()A．B．∪C．D．答案B解析因为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以斜率k＝tanα≥－1，解得倾斜角α∈∪.4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4答案C解析f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．因为f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0，所以f(x)max＝f(0)＝2.故选C.5．已知偶函数f(x)的定义域为R，且当x<0时，f(x)＝ln(－3x＋1)＋e－x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()A．＋eB．＋eC．＋eD．＋e答案C解析由题意得，偶函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f′(1)＝－f′(－1)，当x<0时，f′(x)＝－e－x，∴f′(－1)＝－－e，则f′(1)＝＋e，故选C.6．(2019·辽宁丹东质量测试二)若x＝1是函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x的极值点，则a的值为()A．－2B．3C．－2或3D．－3或2答案B解析 f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)，又f′(1)＝0，∴1＋2(a＋1)－(a2＋a－3)＝0，即a＝3或a＝－2，当a＝3时，f′(x)＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)，显然x＝1是函数f(x)的极值点；当a＝－2时，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴函数是R上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.7．已知函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[3，＋∞)C．(－∞，1]D．(－∞，3]答案B解析 f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.8．(2019·黑龙江哈尔滨六中二模)牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义xk(k∈N)是函数零点近似解的初始值，过点Pk(xk，f(xk))的切线为y＝f′(xk)(x－xk)＋f(xk)，切线与x轴交点的横坐标xk＋1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数f(x)＝x2－2，满足x0＝2应用上述方法，则x3＝()A．B．C．D．答案D解析因为f′(x)＝2x，x0＝2，y0＝2，切线斜率k0＝4，切线方程y－2＝4(x－2)，令y＝0，得x1＝；x1＝，y1＝，切线斜率k1＝3，切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝；x2＝，y2＝，切线斜率k2＝，切线方程为y－＝，令y＝0，得x3＝，故选D.二、填空题9．函数f(x)＝lnx－x2－x＋5的单调递增区间为________．答案解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，再由f′(x)＝－x－1>0可解得00，则x0＝________.答案解析依题意得＝3(ax＋b)，即3ax＝9a(a≠0)，x＝3(x0>0)，由此解得x0＝.12．若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋6在R上有极值，则实数m的取值范围是________．答案m>4或m<－1解析由题意可知，f′(x)＝0有不等根，即方程3x2＋2mx＋m＋＝0有不等根，所以Δ>0，即4m2－12>0，解得m>4或m<－1.三、解答题13．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值4.(1)求实数a，b的值；(2)当a>0时，求曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程．解(1) f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b....
