第六节双曲线A级·基础过关|固根基|1.(2019届河北九校第二次联考)已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4B．焦距为2C．离心率为D．渐近线方程为2x±3y＝0解析：选D由题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A、B不对；离心率e＝＝，所以选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D．2．(2019届福建省质检)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x解析：选D设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则由题意，得c＝.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以＝2.又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D．3．(2019届江西省八所重点中学联考)已知点P(3，)为双曲线－y2＝1(a>0)上一点，则它的离心率为()A．B．C．D．2解析：选B由双曲线－y2＝1(a>0)可得b2＝1.根据点P(3，)在双曲线上可得－2＝1，解得a2＝3，∴e2＝＝1＋＝1＋＝，解得e＝，故选B．4．(2020届惠州调研)设双曲线的一条渐近线为直线y＝2x，一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，则此双曲线的方程为()A．x2－5y2＝1B．5y2－x2＝1C．5x2－y2＝1D．y2－5x2＝1解析：选C抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意可得解得所以双曲线的方程为5x2－y2＝1，故选C．5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点F向两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，若四边形OMFN的面积为，其中O为坐标原点，则该双曲线的焦距为()A．2B．C．3D．4解析：选D由双曲线的离心率为2可得，＝4，又a2＋b2＝c2，所以＝.因为F(c，0)到渐近线y＝±x的距离d＝|FM|＝|FN|＝＝b，所以|OM|＝|ON|＝＝a，故S四边形OMFN＝2S△OMF＝2×ab＝，得ab＝.又＝，所以a＝1，b＝，得c＝2，故该双曲线的焦距为2c＝4.6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，抛物线D：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，若点P(m，1)是抛物线D与双曲线C的一个公共点，则双曲线C的标准方程为()A．－＝1B．－y2＝1C．－y2＝1D．－＝1解析：选B由已知可得，e2＝＝，所以a2＝9b2，即b＝a.由抛物线D：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，得－＝－，解得p＝9，所以抛物线D的方程为x2＝18y.1由点P(m，1)在抛物线D上，得m2＝18，解得m＝±3.又点P(m，1)在双曲线C上，可得解得故双曲线C的标准方程为－y2＝1.故选B．7．(2019届潍坊市高三统一考试)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A．1B．C．2D．2解析：选C由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3.又e＝＝2，所以a＝1，所以该双曲线的实轴的长为2a＝2.8．(2020届大同调研)已知F1，F2是双曲线M：－＝1的焦点，y＝x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|·|PF2|＝()A．8B．6C．10D．12解析：选D由M的一条渐近线方程为y＝x，得＝，解得m2＝5，所以M的半焦距c＝3.因为椭圆E与双曲线M的焦点相同，椭圆E的离心率e＝，所以E的长半轴长a＝4.不妨设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆与双曲线的定义有|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝6，|PF2|＝2，所以|PF1|·|PF2|＝12，故选D．9．(2019届洛阳市高三第一次联考)设双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为()A．B．C．D．无法确定解析：选B在双曲线C：－＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设M在直线y＝x上，N在直线y＝－x上，则直线MF的斜率为－，其方程为y＝－(x－5)，设M，代入直线MF的方程，得t＝－(t－5)，解得t＝，即M.由对称性可得N，所以直线MN的方程为x＝.设P(m，n)，则d＝，－＝1，即n2＝(m2－16)，则|PF|＝＝|5m－16|，故＝＝，故选B．10．(2019届郑州市第一次质量预测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方...
