【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章计数原理1.5.1二项式定理学业分层测评北师大版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于()A．(x－1)3B．(x－2)3C．x3D．(x＋1)3【解析】S＝(x－1)＋1]3＝x3.【答案】C2．已知7的展开式的第4项等于5，则x等于()A.B．－C．7D．－7【解析】T4＝Cx43＝5，则x＝－.【答案】B3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．12【解析】x3＝2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.【答案】B4．使n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7【解析】Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．【答案】B5．在10的展开式中，含x2项的系数为()A．10B．30C．45D．120【解析】因为10＝10＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…＋C10，所以x2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C＝45，故选C.【答案】C二、填空题6．(2015·北京高考)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________．(用数字作答)【解析】设通项为Tr＋1＝C25－rxr，令r＝3，则x3的系数为C×22＝10×4＝40.【答案】407．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．【解析】对于Tr＋1＝Cx6－r(－a)r＝C(－a)r·，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2.【答案】28．9192被100除所得的余数为________.【导学号：62690022】1【解析】法一：9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C.前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8281，显然8281除以100所得余数为81.【答案】81三、解答题9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N＋)．【解】将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝1＋(－2)]n＝(－1)n.∴S＝(－1)n＝10．(2016·淄博高二检测)在6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项．【解】(1)第3项的二项式系数为C＝15，又T3＝C(2)42＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.能力提升]1．(2016·吉林高二期末)若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝4，n＝3B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4D．x＝6，n＝5【解析】Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅C适合．【答案】C2．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为()A．－19B．19C．20D．－20【解析】n的通项公式为Tr＋1＝C()n－r·r＝C，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】C3．(2016·成都高二检测)在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．【解析】Tr＋1＝Cx20－r(y)r＝Cx20－ryr，其系数为C.要使C为有理数，∈Z，又0≤r≤20，则r＝0,4,8,12,16,20，因此，系数为有理数的项共有6项．【答案】64．求5的展开式的常数项．【解】法一：由二项式定理得5＝5＝C·5＋C·4·＋C·3·()2＋C·2·()3＋C··()4＋2C·()5.其中为常数项的有：C4·中的第3项：CC·2·；C·2·()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项C·()5.综上可知，常数项为CC·2·＋CC··()3＋C·()5＝.法二：原式＝5＝·(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.3
