§8.5空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_______，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3．锐角[0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线()若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若l⊥m，m⊥平面α，则l∥α或l⊂α；若l∥α，m⊥平面α，则l⊥m，∴“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选B.()设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解：对于A，由两平面垂直的判定定理知，A正确；对于B，直线l，m相交、平行、异面都有可能，B错误；对于C，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，C错误；对于D，l，m平行、异面都有可能，D错误．故选A.在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解：如图，取BC的中点E，连接AE，DE，可知AE⊥侧面BB1C1C，∠ADE就是AD与侧面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则在Rt△AED中，DE＝a，AE＝a，tan∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.故选C.如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，连接BC，在β内作CD⊥l，交l于点D，连接AD. l⊥CD，l⊥AC，AC∩CD＝C，∴l⊥面ACD.∴l⊥AD.故∠ADC为二面角αlβ的平面角，即∠ADC＝60°，易知∠ABC为直线AB与平面β所成的角．设CD＝a，则AD＝2a，AC＝a.又 ∠ABD＝30°，∴AB＝4a.∴sin∠ABC＝＝＝.故填.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝______时，CF⊥平面B1DF.解：B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要CF⊥平面B1DF，只要CF⊥DF即可．令CF⊥DF，∠A1FD＝∠ACF，∠AFC＝∠A1DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，即＝，解得x＝a或x＝2a.(亦可由勾股定理求得)故填a或2a.类型一线线垂直问题如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠...
