【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学2.3变换的复合与矩阵的乘法学业分层测评苏教版选修4-2学业达标]1.已知A＝，B＝，C＝，计算AB、AC.【解】AB＝＝，AC＝＝.2.计算.【解】原式＝＝＝.3.已知M＝，W＝，试求满足MZ＝W的二阶矩阵Z.【导学号：30650028】【解】设Z＝，则MZ＝＝.又因为MZ＝W，且W＝，所以＝，所以解得故Z＝.4.验证下列等式，并说明其几何意义(结合法从右到左进行).(1)＝；(2)＝.【解】(1)右边＝＝＝＝左边.故等式成立.从几何变换上说，矩阵把点P(x，y)切变到点P1(y，x＋y)；矩阵把点P1(y，x＋y)切变到点P2(x＋2y，x＋y)；矩阵把点P2(x＋2y，x＋y)垂直于x轴伸长2倍变成点P3(x＋2y，2x＋2y)；矩阵把点P3(x＋2y，2x＋2y)向y轴正向切变到点P4(x＋2y，3x＋4y).这样连续实施以上四次变换的结果与用矩阵直接把点P(x，y)变到点P4(x＋2y，3x＋4y)是一致的.(2)右边＝＝＝左边.故等式成立.从几何上看，矩阵把点A(x，y)以直线y＝x为对称轴，反射到其点A1(y，x)；而把点A1(y，x)平行于x轴切变到点A2(y＋kx，x)；矩阵把点A2(y＋kx，x)以直线y＝x为对称轴，反射到对称点A3(x，y＋kx).这样连续三次变换的结果与用矩阵直接把点A(x，y)沿y轴切变到A3(x，y＋kx)是一致的.5.试求曲线y＝sinx在矩阵MW变换下的函数解析式，其中M＝，W＝.【导学号：30650029】【解】MW＝＝＝.设(x′，y′)是曲线y＝sinx上任意一点，变换后曲线上与之对应的点为(x，y)，则有＝，即＝，所以即所以y＝sin2x，即y＝2sin2x.故曲线y＝sinx在矩阵MW变换下的函数解析式为y＝2sin2x.6.求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝，N＝.【解】MN＝＝，设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x，y)，1则有＝＝于是x′＝x，y′＝x＋.代入2x′2－2x′y′＋1＝0得xy＝1，所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.7.已知晴天和阴天的转移矩阵A，及表示今天天气晴、阴的概率α分别为A＝明天\s\up7(\a\vs4\al(晴天)，α＝今天\s\up7(\a\vs4\al(晴天)，(1)计算A2、A3，并分别说明A2、A3的实际意义；(2)请用矩阵A与向量α表示出明天，后天与再后天的天气晴、阴的概率.【解】(1)A2＝，A3＝，它们分别表示A2＝后天晴天,阴天)，A3＝再后天晴天,阴天).(2)明天天气晴、阴概率Aα＝；后天天气晴、阴概率A2α＝；再后天天气晴、阴概率A3α＝.能力提升]8.设TA是绕原点旋转且旋转60°的旋转变换，TB是以直线x＋y＝0为轴的反射变换，求先进行TA变换后进行TB变换的复合变换对应的矩阵.【解】若逆时针方向旋转，则TA，TB对应的矩阵分别为A＝＝，B＝，故所求矩阵为BA＝＝.若顺时针方向旋转，则TA，TB对应的矩阵分别为A＝＝，B＝，故所求矩阵为BA＝＝.综上所述，所求矩阵为或.2
