高考数学复习点拨 例析抛物线在生活中的应用VIP免费

例析抛物线在生活中的应用抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是建立恰当的直角坐标系，求出抛物线方程，充分利用抛物线的几何性质，通过方程解决实际问题.例1一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的两边围成，尺寸如图（单位：m），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？说明理由.分析：先由题意建立坐标系.求出抛物线方程，将实际问题转化为抛物线的相关问题来解决.解：建立坐标系如图1，设矩形与抛物线的接点为A、B，则(3,3),(3,3)AB.设抛物线方程为22(0)xpyp，将B点坐标代入得392(3),2pp.∴抛物线方程为)03(32yyx。∵车与箱共高4.5m，∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5m.设抛物线上点D的坐标为2000336(,0.5).,222xxx则.0||2||63DDx,故此车不能通过隧道.点评:涉及到与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低问题，通常建立直角坐标系，利用抛物线的标准方程解决，注意建系后坐标的正负与其实际意义。例2一个酒杯的轴截面是抛物线的一段弧，它的口宽是的104，杯深20，在杯内放一玻璃球，玻璃球的半径r取何值时，才能使玻璃球触及杯底?分析：解决要点就是建立恰当坐标系，将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题.解：在酒杯轴截面内，玻璃球成了位于抛物线内的一个圆，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系如图2，则抛物线方程可设为)0(22ppyx，依题意得点)20,102(在抛物线上，,1,20240pp故抛物线的方程为)200(22yyx，若玻璃球触及杯底，圆与x轴切于原点，这时圆心坐标为),0(rA，在抛物线上任取一点),(yxP,则22222)1(2)(||ryryryxAP2212)]1([rrry，10,01rr。故当玻璃球的半径r取值范围为1,0时，才能使玻璃球触及杯底.点评：本题关键将实际问题转化为抛物线问题，再转化为代数问题，利用二次函数求最值的方法使问题获解。例3已知探照灯的轴截面是抛物线xy2，如图所示，表示平行于对称轴x轴的光线于抛物用心爱心专心20yxO1042图xOPFQyxy23图1图(3,3)B(3,3)A23yx6线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为)0(aa,a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程最短？分析：关键就是利用抛物线的光学性质建立目标函数.解：由抛物线的光学性质，知光线PQ必过抛物线的焦点)0,41(F.设P点的坐标为),(2aa，则直线PQ的方程为：)41(412xaay，即xyayaax220)14(4与联立，解得ayay或41，由图3可知)41,161(2aaQ，根据抛物线的定义得11)41(21161||||||222aaaaFQPFPQ，当且仅当aa41，即21a时等号成立.∴当21a从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短.点评：从抛物线的焦点处发出的光线照到抛物线上，经反射后平行与抛物线的轴；反之，平行抛物线的光线照到抛物线上，经反射后通过焦点，这一光学性质被广泛应用于各种设计中。用心爱心专心