高中数学用构造局部不等式法证明不等式知识精讲VIP免费

高中数学用构造局部不等式法证明不等式有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。例1.若abR，*，ab2，求证：212123ab分析：由a，b在已知条件中的对称性可知，只有当ab1，即213a时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。证明：2133213332132332aaaa···()()同理，21332bb()∴212133233223abab()()例2.设xxxn12，，…，是n个正数，求证：xxxxxxxxxxnnn122223122112……xn。证明：题中这些正数的对称性，只有当xxxn12…时，等号才成立，构造局部不等式如下：xxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnn12221223321212112222，，…，，。将上述n个同向不等式相加，并整理得：xxxxxxxxxxxnnnn122223122112……。例3.已知aaan12，，…，均为正数，且aaan121…，求证：aaaaaaaaann121222232112…。证明：因aaan12，，…，均为正数，故aaaaaa12121214，aaaaaaaaaaaannnn222323221144，…，。又∵aaaaaaaaann12231124441212……()，∴把以上各个同向不等式相加，整理得：aaaaaaaaaaaannn121222232112121……故aaaaaaaaann121222232112…。例4.设abcR，，*，且abc1，求证：111333abcbcacab()()()32。用心爱心专心（第36届IMO）证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当abc1时，才有可能达到最小值32，此时刚好14123abcbcbc()。所以，可构造如下局部不等式。∵14214133abcbcbcabca()，14214133bacacacbacb()，14214133cabababcabc()，∴11111114333abcbcacababcbcbcacacabab()()()()()12111321323()abcabc例5.设abcR，，*，且abc2，求证：abcbcacab2221。证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当abc23时，才可能达到最小值1，此时刚好abcbc24。所以，可构造如下局部不等式。∵abcbcabcacabcababc222444，，∴abcbcacababcabc22212()即abcbcacab2221用心爱心专心