专题六概率与统计满分示范课【典例】(满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降低处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？[规范解答](1)由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，1分由表格数据知P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.4.4分因此X的分布列为X200300500P0.20.40.45分(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.8分当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.10分所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.12分高考状元满分心得(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全．如第(1)问中，写出X所有可能取值得分，第(2)问中分当300≤n≤500时和200≤n＜300时进行分析才能得满分．(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问应写出求分布列的过程，第(2)问应写出不同范围内Y的数学期望．[解题程序]第一步：确定随机变量X的取值；第二步：求每一个可能取值的概率，列出X的分布列；第三步：根据题目所要解决的问题，确定自变量及其取值范围；第四步：求利润的数学期望E(Y)与进货量n的关系，并利用函数的性质求出E(Y)的最大值；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，规范答题．[跟踪训练]1．(2018·西安调研)在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手分为两个年龄(单位：岁)段：[20，30)，[30，40]，其中答对诗词名句与否的人数如图所示．(1)完成下面2×2列联表：年龄段正确错误合计[20，30)[30，40]合计(2)是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；(3)现按年龄段分层抽样选取6名选手，若从这6名选手中选取3名选手，求3名选手中年龄在[20，30)岁范围人数的分布列和数学期望．注：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.1000.0500.0100.005k02.7063.8416.6357.879解：(1)2×2的列联表为年龄段正确错误合计[20，30)103040[30，40]107080合计20100120(2)K2＝＝＝3.因为3＞2.706，所以有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关．(3)按年龄段分层抽取6人中，在范围[20，30)岁的人数是2(人)，在[30，40]岁范围的人数是4(人)．现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围[20，30)岁的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1.2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.所以ξ的分布列为ξ012P故ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.2．(2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ...
