2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第50讲椭圆实战演练理1．(2014·大纲全国卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A．2．(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(A)A．B．C．D．解析：由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝k(x＋a)，当x＝－c时，y＝k(a－c)，当x＝0时，y＝ka，所以M(－c，k(a－c))，E(0，ka)．如图，设OE的中点为N，则N，由于B，M，N三点共线，所以kBN＝kBM，即＝，所以＝，即a＝3c，所以e＝.故选A．3．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是.解析：由已知条件易得B，C，F(c,0)，∴BF＝，CF＝，由∠BFC＝90°，可得BF·CF＝0，所以＋2＝0，c2－a2＋b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以＝，则e＝＝.4．(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a>1)．(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．1解析：(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，故x1＝0，x2＝－.因此|AP|＝|x1－x2|＝·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.由(1)知，|AP|＝，|AQ|＝，故＝，所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，因此＝1＋a2(a2－2)，①因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，由e＝＝得，所求离心率的取值范围为.2
