课后限时集训(二十五)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1D[选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，故选D.]2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－a＋bB.a－bC．－a－bD．－a＋bB[设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴∴∴c＝a－b.]3．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE等于()A．b－aB．b＋aC．a＋bD．a－bA[BE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋a＝b－a.]4．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为()A．(－3,4)B．(3,4)C．(3，－4)D．(－3，－4)A[由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)，故选A.]5.(2019·开封模拟)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与AB同方向的单位向量是()A.B.C.D.A[AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB同方向的单位向量为＝，故选A.]二、填空题6．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为________．－2[由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2,1)，b＝(4,2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意．]7．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是________．(4,7)[由点C是线段AB上一点，|BC|＝2|AC|，得BC＝－2AC.设点B为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)，即解得所以向量OB的坐标是(4,7)．]8．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(0，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C不能构成三角形，则实数m满足的条件是________．m＝[由题意得AB＝(－3,1)，AC＝(2－m,1－m)，若A，B，C不能构成三角形，则AB，AC共线，则－3×(1－m)＝1×(2－m)，解得m＝.]三、解答题9．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b).(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．[解](1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)．∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC.∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵AC＝2AB，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴解得∴点C的坐标为(5，－3)．10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[解](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以解得(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.B组能力提升1．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)B[AQ＝PQ－PA＝(－3,2)，∵点Q是AC的中点，∴AC＝2AQ＝(－6,4)，PC＝PA＋AC＝(－2,7)，∵BP＝2PC，∴BC＝3PC＝(－6,21)．]2．(2019·北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝()A．1B．2C．3D．4D[以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝AO＝(－1,1)，b＝OB＝(6,2)，c＝BC＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4，故选D.]3．(2019·江南十校联考)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，且(a＋c)∥(a－b)，则m＝________.[a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)，∴a＋c＝(m＋1，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)，又(a＋c)∥(a－b)，∴(m＋1)(m－5)＋m＋3＝0，即m2－3m－2＝0，解之得m＝.]4．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP＝OA＋tAB(t∈R)，问：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在第二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．[解](1)因为O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，所以OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－；若P在第二、四象限角平分线上，则1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－.(2)OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则OA＝PB，即此方程组无解．所以四边形OABP不可能为平行四边形．
