第十一章立体几何初步考点突破·素养提升素养一逻辑推理角度1平行关系【典例1】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.【解析】当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD,证明如下:如图,连接BD交AC于点O,连接FO,那么PF=PB.因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是BD的中点.所以OF∥PD.又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,所以OF∥平面PMD.又MAPB,所以PFMA.所以四边形AFPM是平行四边形.所以AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD.所以AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC.所以平面AFC∥平面PMD.【类题·通】1.判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行,因此掌握线面平行的判定方法是必要的,判定线面平行的两种方法:(1)利用线面平行的判定定理.(2)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面.2.判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).(3)利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β⇒α∥β).【加练·固】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:(1)BF∥HD1.(2)EG∥平面BB1D1D.(3)平面BDF∥平面B1D1H.【证明】由已知画图.(1)取BB1的中点M,连接C1M,HM,易证HMC1D1是平行四边形,所以HD1∥MC1,又由已知可得四边形MBFC1是平行四边形,所以MC1∥BF,所以BF∥HD1.(2)取BD的中点O,连接OE,D1O,则OEDC,又D1GDC,所以OED1G,所以OEGD1是平行四边形,所以GE∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D,EG⊄平面BB1D1D,所以EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知D1H∥BF,又BD∥B1D1,B1D1,HD1⊂平面HB1D1,BF,BD⊂平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B,所以平面BDF∥平面B1D1H.角度2垂直关系【典例2】如图所示,在三棱锥A-BCD中,AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.求证:EF⊥平面BCG.世纪【证明】由已知得,△ABC≌△DBC.因此AC=DC.又G为AD的中点,则CG⊥AD;同理,BG⊥AD.CG∩BG=G,因此AD⊥平面BCG.由题意知,EF为△DAC的中位线,所以EF∥AD.所以EF⊥平面BCG.【延伸探究】本例条件不变,证明:平面BCG⊥平面ACD.【证明】由已知得,△ABC≌△DBC,因此AC=DC.又G为AD的中点,则CG⊥AD;同理,BG⊥AD,CG∩BG=G,因此AD⊥平面BCG.因为AD⊂平面ACD,所以平面BCG⊥平面ACD.【类题·通】判定线面垂直的方法(1)线面垂直定义(一般不易验证任意性).(2)线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c=M⇒a⊥α).(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α⇒a⊥α).(4)面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a⊂β,a⊥l⇒a⊥α).(5)面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β).(6)面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ).【加练·固】如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形.证明:PB⊥CD.【证明】如图,取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连接OA,OB,OD,OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OE⊥BD.又OE⊥OP,BD∩OP=O,所以OE⊥平面PDB,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD.素养二数学运算角度1直线与直线所成的角【典例3】(2019·黄山高一检测)在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,若AD与BC所成的角是60°,那么∠FEG为________.世纪【解析】如图,连接EF,EG,因为E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,所以EF∥BC,EG∥AD,又AD与BC所成的角是60°,所以∠FEG=60°或∠FEG=120°.答案:60°或120°【类题·通】找异面直线所成角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.(3)补形平移.【加练·固】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN等于________.【解析】因为B1C1⊥平面A1ABB1,MN⊂平面A1ABB1,所以B1C1⊥MN,又∠B1MN为直角.所以B1M⊥MN,而B1M∩B1C1=B1.所以MN⊥平面MB1C1,又MC1⊂平面MB1C1,所以MN⊥MC1,所以∠C1MN=90°.答案:90°角度2二面角【典例4】在图(1)等边三角形ABC中,AB=2,E是线...
