课时作业20数学归纳法的原理知识点一数学归纳法的原理1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,步骤(1)中n0的取值应为()A.1B.2C.3D.4答案C解析由凸边形至少有3条边,知n≥3,故n0的取值应为3.2.已知f(n)=+++…+,则()A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=++C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++答案D解析结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数共有n2-n+1个,且f(2)=++.3.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1(n∈N*)时,等式左边应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2答案D解析当n=k时,等式左边=1+2+…+k2,当n=k+1时,等式左边=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,故选D.4.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立答案B解析因为假设n=k(k≥2为偶数),故下一个偶数为k+2,故选B.知识点二用数学归纳法证明命题5.用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.那么当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.1根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.6.用数学归纳法证明:1+4+7+…+(3n-2)=n(3n-1)(n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+4+7+…+(3k-2)=k(3k-1).那么当n=k+1时,1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]=k(3k-1)+(3k+1)=(3k2+5k+2)=(k+1)(3k+2)=(k+1)[3(k+1)-1],即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.一、选择题1.证明“<1++++…+<n+1(n>1)”,当n=2时,中间的式子为()A.1B.1+C.1++D.1+++答案D解析当n=2时,中间的式子为1+++=1+++.故选D.2.我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时,在由“n=k时论断成立⇒n=k+1时论断也成立”的过程中()A.必须运用假设B.n可以部分地运用假设C.可不用假设D.应视情况灵活处理,A、B、C均可答案A解析由“n=k时论断成立⇒n=k+1时论断也成立”的过程中必须运用假设.3.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均为f(k)≥k2成立答案D解析对于A,若f(3)≥9成立,由题意只可得出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故错误;对于B,若f(5)≥25成立,则当k≥5时均有f(k)≥k2成立,故错误;对于C,应改为“若f(7)≥49成立,则当k≥7时,均有f(k)≥k2成立”.4.已知命题1+2+22+…+2n-1=2n-1及其证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,所以等式成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1成立,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以n=k+1时等式也成立.由(1)(2)知,对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述()A.命题、推理都正确B.命题正确、推理不正确2C.命题不正确、推理正确D.命题、推理都不正确答案B解析推理不正确,错在证明n=k+1时,没有用到假设n=k的结论,命题由等比数列求和公式知正确,故选B.5.已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*),若当n=1,2,…,1000时,p(k)成立,且当n=1001时也...