两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(15分钟35分)1.(2020·清华附中高一检测)若tanα=3，tanβ=，则tan(α-β)等于()A.3B.-3C.D.-【解析】选C.tan(α-β)===.2.(2020·玉林高一检测)计算等于()A.B.C.1D.【解析】选A.==tan30°=.【补偿训练】=_______.【解析】===tan(15°-45°)=tan(-30°)=-.答案：-3.在△ABC中，∠C=120°，tanA+tanB=，则tanA·tanB的值为()A.B.C.D.【解析】选B.因为∠C=120°，所以∠A+∠B=60°，所以tan(A+B)==，所以tanA+tanB=(1-tanA·tanB)=，解得tanA·tanB=.4.已知tan(α+β)=3，tanα=，那么tanβ=_______.【解析】因为tanα=，又tan(α+β)==3，所以tanβ=.答案：5.若(tanα-1)(tanβ-1)=2，则α+β=_______.【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2tan⇒αtanβ-tanα-tanβ+1=2tan⇒α+tanβ=tanαtanβ-1⇒=-1，即tan(α+β)=-1，所以α+β=kπ-，k∈Z.答案：kπ-，k∈Z6.已知tan(α+β)=，tan=，求tanα+的值.【解析】因为α+=(α+β)-，所以tan=tan====.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.的值等于()A.-1B.1C.D.-【解析】选D.因为tan60°=tan(10°+50°)=，所以tan10°+tan50°=tan60°-tan60°tan10°tan50°.所以原式==-.【补偿训练】(1+tan17°)(1+tan18°)(1+tan27°)(1+tan28°)的值是()A.2B.4C.8D.16【解析】选B.(1+tan17°)(1+tan28°)=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°，①又tan45°=tan(17°+28°)=，所以①式=1+(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°=2.同理(1+tan18°)(1+tan27°)=2.所以原式=4.2.若=，则tan=()A.-2B.2C.-D.【解析】选C.因为=，所以=，所以tanα=-3.所以tan===-.3.若sinα=，tan(α+β)=1，且α是第二象限角，则tanβ的值为()A.B.-C.7D.【解析】选C.由sinα=，且α是第二象限角，可得cosα=-，则tanα=-，所以tanβ=tan===7.4.已知锐角α，β满足sinα-cosα=，tanα+tanβ+tanαtanβ=，则α，β的大小关系是()A.α<<βB.β<<αC.<α<βD.<β<α【解析】选B.因为α为锐角，sinα-cosα=>0，所以<α<.又tanα+tanβ+tanαtanβ=，所以tan(α+β)==，所以α+β=，又α>，所以β<<α.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.若α+β=，且α，β满足(tanαtanβ+a)+2tanα+3tanβ=0，则()A.tan(α+β)=B.tan(α+β)=-C.tanα=(1-a)D.tanα=(1+a)【解析】选AD.因为(tanαtanβ+a)+2tanα+3tanβ=0，所以tanαtanβ+3(tanα+tanβ)=tanα-a，①因为tan(α+β)==，所以3(tanα+tanβ)=(1-tanαtanβ)，②把②代入①得=tanα-a，所以tanα=+a=(1+a).6.已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，且-<α<，-<β<，则()A.tanα+tanβ=3B.tan(α+β)=C.tanα·tanβ=4D.α+β=-【解析】选BCD.由根与系数的关系得：tanα+tanβ=-3，tanα·tanβ=4，所以tanα<0，tanβ<0，所以tan(α+β)===，又-<α<，-<β<，且tanα<0，tanβ<0，所以-π<α+β<0，所以α+β=-.三、填空题(每小题5分，共10分)7.=_______.【解析】因为tan18°+tan42°+tan120°=tan60°(1-tan18°tan42°)+tan120°=-tan60°tan18°tan42°，所以原式=-1.答案：-18.已知tanα=2，tanβ=-3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则=_______，α-β=_______.【解析】==-7.因为tan(α-β)==-1，又0°<α<90°，90°<β<180°，所以-180°<α-β<0°，所以α-β=-45°.答案：-7-45°四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知tan(π+α)=-，tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值；(2)求tanβ的值.【解析】(1)因为tan(π+α)=-，所以tanα=-，因为tan(α+β)==，所以tan(α+β)==.(2)因为tanβ=tan=，所以tanβ==.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α+β)的值；(2)求α+2β的值.【解析】由条件得cosα=，cosβ=.因为α，β为锐角，所以sinα==，sinβ==.所以tanα=7，tanβ=.(1)tan(α+β)===-3.(2)因为tan(α+2β)=tan===-1，又因为α，β为锐角，所以0<α+2β<，所以α+2β=.1.(1+tan1°)(1+tan2°)·…·(1+tan44°)(1+tan45°)的值为()A.222B.223C.224D.225【解析】选B.(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan44°+tan1°+tan44°tan1°，因为tan45°=tan(1°+44°)==1，所以(1+tan1°)(1+tan44°)=1+1-tan1°tan44°+tan44°tan1°=2，同理，得(1+tan2°)(1+tan43°)=(1+tan3°)(1+tan42°)=…=2，所以原式=222×(1+tan45°)=223.2.A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是_______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)【解析】由已知得所以tan(A+B)===，在△ABC中，tanC=tan=-tan(A+B)=-<0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形.答案：钝角【补偿训练】在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定【解析】选A.由tanAtanB>1，知tanA>0，tanB>0，从而A，B均为锐角.又tan(A+B)=<0，即tanC=-tan(A+B)>0，所以C为锐角，故△ABC为锐角三角形.
