课时分层作业(七)椭圆的几何性质(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2，则C的方程为__________.【导学号：95902097】【解析】根据已知条件知＝，又2c＝2，得a＝2，又b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆方程为＋＝1.【答案】＋＝12．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为________．【解析】由题意知圆F2的半径为c，在Rt△MF1F2中，|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c且MF1⊥MF2.所以(2a－c)2＋c2＝4c2，＋2－2＝0，∴e＝＝－1.【答案】－13．直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________.【导学号：95902098】【解析】直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得＋＜1，∴P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】相交4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．【解析】根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b＝，椭圆的方程为＋＝1.【答案】＋＝15．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0
0，∴a2>1，∴1b>0)．由得由a2＝b2＋c2，得b2＝32.故椭圆的方程为：＋＝1.【答案】＋＝17．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________.【导学号：95902100】【解析】如图，当直线x＝m，过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，1由解得y＝±，∴|AB|＝3.∴S＝×3×2＝3.【答案】38．已知椭圆方程是＋＝1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为________．【解析】方法一：易知直线MN的斜率存在，设为k，则其直线方程为y－1＝k(x－1)，由得(4＋9k2)x2－18k(k－1)x＋9k2－18k－27＝0，又设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝＝2，解得k＝－，则所求的直线方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0.方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1①＋＝1②①－②得＝－∴k＝＝－＝－＝－.∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0.【答案】4x＋9y－13＝0二、解答题9．(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率．(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．【解】(1)由题意得：b＝c，∴e2＝＝＝＝，∴e＝.(2)由题意得：2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2.又 a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，即3a2－2ac－5c2＝0，∴3－2·－5·＝0，即5·＋2·－3＝0，∴e＝＝.10．过椭圆＋＝1内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程.【导学号：95902101】【解】方法一：依题意，该直线l的斜率存在．设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.又M为AB的中点，∴＝＝2，解之得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点．∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－，即kAB＝－.故所求直线方程为x＋2y－4＝0.[能力提升练]21．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆离心率为__________．【解析】令右焦点为F′，连结BF′，由题意得A(－a,0)，B(0，b)，F′(c,0)，由椭圆的对称性知∠BFO＝∠BF′O，又∠BAO＋∠BFO＝90°，所以∠BAO＋∠BF′O＝90°，∴AB·BF′＝0，∴(a，b)·(c，－b)＝ac－b2＝ac...
