考查角度3解三角形及其应用分类透析一利用正、余弦定理解三角形例1(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2,B=30°,则sinC=.解析(1)因为cosA=,cosC=,且A,C为三角形的内角,所以sinA=,sinC=.所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.又因为=,所以b==.(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=1+12-4×=7,即b=.由正弦定理,得sinC===.答案(1)(2)方法技巧(1)利用正弦定理可以解决两类三角形问题:①已知两角和任一边,求其他边和角,这种情况有唯一解;②已知两边和其中一边所对的角,求其他边和角,这种情况可能有一解,可能有两解,可能无解,要充分利用三角形中大边对大角的性质进行判断.(2)利用余弦定理可以解决三类三角形问题:①已知两边及其夹角,求其他边和角,这种情况有唯一解;②已知三边,求三角,这种情况有唯一解;③已知两边和其中一边所对的角,求其他边和角,这种情况可能有一解,可能有两解,可能无解,要充分利用三角形中大边对大角的性质进行判断.分类透析二正、余弦定理的综合应用例2(1)在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为.(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cosC=,且acosB+bcosA=2,则△ABC面积的最大值为.解析(1)依题意知A+C=120°,∴C=120°-A(0°
