高中数学 第六章 推理与证明 6.3 数学归纳法（2）分层训练 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP免费

6.3数学归纳法(二)一、基础达标1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4答案D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6答案C解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10答案B解析左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是()A．增加了一项B．增加了两项和C．增加了B中的两项，但又减少了一项D．增加了A中的一项，但又减少了一项答案C解析当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故选C.5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．答案(k＋3)3解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________．答案Sn＝1解析S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.7．已知正数数列{an}(n∈N*)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.证明(1)当n＝1时．a1＝S1＝，∴a＝1(an>0)，∴a1＝1，又－＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝－.当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－＝－＝－∴a＋2ak＋1－1＝0，解得ak＋1＝－(an>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝－.二、能力提升8．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为()A．f(k)＋k－1B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋kD．f(k)＋k－2答案A解析三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．9．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k(n∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．答案＋＋…＋＋＋>－解析观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即＋＋…＋>.则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋2＞＋＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.∴Sn＝－(n≥2)．则有：S1＝a1＝－，S2＝－＝－，S3＝－＝－，S4＝－＝－，由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．(2)假设n＝k(k∈N*)猜想成立，即Sk＝－成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－＝－＝－.即n＝k＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．三、探究与创新13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若不等式··…·≤对任意n∈N...