课时跟踪检测（二十七）坐标系与参数方程1．(2018·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ－3＝0.(1)求直线l的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.解：(1)由消去t得，y＝2x，把代入y＝2x，得ρsinθ＝2ρcosθ，所以直线l的极坐标方程为sinθ＝2cosθ.(2)因为ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝，所以|AB|＝2＝.2．(2018·益阳、湘潭模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．解：(1)由ρcos＝得ρcosθcos－ρsinθsin＝，即ρcosθ－ρsinθ＝，又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.(2)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4， P(1,0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)，将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0，∴t1·t2＝－，故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝.3．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．解：(1)曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，则曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0. 直线C2的方程为y＝x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ＝(ρ∈R)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.4．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t>0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos＝.(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝2，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.因为(α为参数，t>0)，所以曲线C的普通方程为＋y2＝1(t>0)，由消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0，又t>0，解得00，∴t＝.5．(2018·重庆模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若点M在曲线C1上，点N在曲线C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标．解：(1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为＋＝1，由ρcos＝3，得ρcosθ－ρsinθ＝6，∴曲线C2的直角坐标方程为x－y－6＝0.(2)设点M的坐标为(3cosβ，sinβ)，点M到直线x－y－6＝0的距离d＝＝＝，当sin＝－1时，|MN|有最小值，最小值为3－，此时点M的直角坐标为.6．(2018·昆明模拟)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.解：(1)由题意知直线l的参数方程为(t为参数)，因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，得cos2α>，由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3.不妨令|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，所以|PQ|＝|t1－t2|，因为|PQ|2＝|AP|·|AQ|，...
