第3讲函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2017·镇江期末)在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsinx中，偶函数的个数是________．解析y＝xcosx为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsinx为偶函数．答案22．(2015·湖南卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则下列结论：①奇函数，且在(0,1)内是增函数；②奇函数，且在(0,1)内是减函数；③偶函数，且在(0,1)内是增函数；④偶函数，且在(0,1)内是减函数．其中正确的有________(填序号)．解析易知f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0,1)上是增函数，所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0,1)上是增函数．答案①3．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.解析由于f(－x)＝f(x)，∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，∴a＝－.答案－4．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝________.解析由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有解得g(1)＝3.答案35．(2017·南通调研)若函数f(x)＝(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋b)的值为________．解析法一因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，f(－2)＝－f(2)，即解得a＝－1，b＝2.经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.法二因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，当x>0时，二次函数的图象顶点为，当x<0时，二次函数的图象顶点为(－1，－a)，所以－＝－1，－＝a，解得a＝－1，b＝2，经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，所以f(a＋b)＝f(1)＝－1.答案－16．(2017·泰安一模改编)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为________．1解析 f(x＋1)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.答案27．(2017·南通调研)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.答案8．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．解析由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，∴f(x)>0时，x>或－
0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1
