第8讲曲线与方程[基础题组练]1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是()A.一条直线和一条双曲线B.两条双曲线C.两个点D.以上答案都不对解析:选C.(x-y)2+(xy-1)2=0⇔故或2.(2020·银川模拟)设D为椭圆+x2=1上任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为()A.x2+(y-2)2=20B.x2+(y+2)2=20C.x2+(y-2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析:选B.设点P坐标为(x,y).因为D为椭圆+x2=1上任意一点,且A,B为椭圆的焦点,所以|DA|+|DB|=2.又|PD|=|BD|,所以|PA|=|PD|+|DA|=|DA|+|DB|=2,所以=2,所以x2+(y+2)2=20,所以点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=20.故选B.3.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是()解析:选D.当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则(0≤y≤1),故y′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时,y=1,则(0≤x≤1),所以y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),由此可知P′的轨迹如D项图象所示,故选D.4.(2020·兰州模拟)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN|·|MP|+MN·NP=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x解析:选A.设P(x,y),M(-2,0),N(2,0),|MN|=4.则MP=(x+2,y),NP=(x-2,y),由|MN|·|MP|+MN·NP=0,得4+4(x-2)=0,化简整理得y2=-8x.故选A.5.(2020·郑州模拟)动点M在圆x2+y2=25上移动,过点M作x轴的垂线段MD,D为垂足,则线段MD中点的轨迹方程是()1A.+=1B.+=1C.-=1D.-=1解析:选B.如图,设线段MD中点为P(x,y),M(x0,y0),D(x0,0),因为P是MD的中点,所以又M在圆x2+y2=25上,所以x+y=25,即x2+4y2=25,+=1,所以线段MD的中点P的轨迹方程是+=1.故选B.6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足OC=OA+t(OB-OA),其中t∈R,则点C的轨迹方程是________.解析:设C(x,y),则OC=(x,y),OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.答案:y=2x-27.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.解析:如图,△ABC与内切圆的切点分别为G,E,F.|AG|=|AE|=8,|BF|=|BG|=2,|CE|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,轨迹方程为-=1(x>3).答案:-=1(x>3)8.设F1,F2为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上任意一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________.解析:由题意,延长F1D,F2A并交于点B,易证Rt△ABD≌Rt△AF1D,则|F1D|=|BD|,|F1A|=|AB|,又O为F1F2的中点,连接OD,则OD∥F2B,从而可知|OD|=|F2B|=(|AF1|+|AF2|)=2,设点D的坐标为(x,y),则x2+y2=4.答案:x2+y2=49.如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.2(1)△PAB的周长为10;(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).解:(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故P点轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.因此其轨迹方程为+=1(y≠0).(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此其轨迹方程为4x2-y2=1.(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此其轨迹方程为y2=-8x.10.(2020·宝鸡模拟)已知动圆P恒过定点,且与直线x=-相切.(1)求动圆P圆心的轨迹M的方程;(2)在正方形ABCD中,AB边在直线y=x+4上,另外C,D两点在轨迹M上,求该正方形的面积.解:(1)由题意得动圆P的圆心到点的距离与它到直线x=-的距离相...