专题四立体几何满分示范课【典例】(满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角MABD的余弦值．[规范解答](1)取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD，由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，3分又BC＝AD，所以EF綉BC，四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，4分又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.6分(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，PC＝(1，0，－)，AB＝(1，0，0).8分设M(x，y，z)(0＜x＜1)，则BM＝(x－1，y，z)，PM＝(x，y－1，z－)．因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝(0，0，1)是底面ABCD的一个法向量，所以|cos〈BM，n〉|＝sin45°，＝，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上，设PM＝λPC，则x＝λ，y＝1，z＝－λ.②由①②解得(舍去)，所以M，从而AM＝.9分设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m＝(0，－，2).10分于是cos〈m，n〉＝＝.因此二面角MABD的余弦值为.12分高考状元满分心得(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全．如第(1)问中BC∥AD，第(2)问中两向量的坐标．(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出CE∥平面PAB证明过程中的三个条件，否则不得分；第(2)问中不写出公式cos〈n，m〉＝而得出余弦值则要扣1分．[解题程序]第一步：由平面几何性质及公理4，得CE∥BF；第二步：根据线面平行的判定定理，证CE∥平面PAB；第三步：建立空间坐标系，写出相应向量的坐标；第四步：由线面角，向量共线求点M，确定M的位置；第五步：求两个平面的法向量，求二面角的余弦值；第六步：检验反思，规范解题步骤．[跟踪训练]1.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点．所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.(2)解：如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，AP＝(0，2，2)．取平面PAC的一个法向量OB＝(2，0，0)．设M(a，2－a，0)(0≤a≤2)，则AM＝(a，4－a，0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．由AP·n＝0，AM·n＝0得可取n＝((a－4)，a，－a)，所以cos〈OB，n〉＝.由已知可得|cos〈OB，n〉|＝，所以＝，解得a＝－4(舍去)或a＝，所以n＝.又PC＝(0，2，－2)，所以cos〈PC，n〉＝.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.2.(2018·潍坊模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1＝4，AB＝2，AC＝2，∠BAC＝45°，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点．(1)证明：BC⊥B1M；(2)若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角MB1CA的余弦值．(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝4＋8－2×2×2×cos45°＝4，所以BC＝2，则有AB2＋BC2＝8＝AC2，所以∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又因为BC⊥BB1，BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面ABB1A1，又B1M⊂平面ABB1A1，故BC⊥B1M.(2)由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥CABB1M和四棱锥B1A1MCC1.由(1)知四棱锥CABB1M的高为BC＝2，因为V三棱柱ABCA1B1C1＝×2×2×4＝8，所以V四棱锥CABB1M＝V柱＝4，又V四棱锥CABB1M＝·S梯形ABB1M·BC＝S梯形ABB1M＝4，所以S梯形ABB1M＝6＝×2，所以AM＝2.此时M为AA1中点．以点B为坐标原点，BA，BC，BB1的方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.所以A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M(2，0，2)．所以CB1＝(0，－2，4)，B1M＝(2，0，－2)，AC＝(－2，2，0)，设n1＝(x，y1，z1)是平面CB1M的一个法向量，所以即令z1＝1，可得n1＝(1，2，1)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面ACB1的一个法向量，所以即令z2＝1，可得n2＝(2，2，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，所以二面角MB1CA的余弦值为.
