高中数学 第3章 不等式 3.4 基本不等式 第1课时 基本不等式课时作业案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

第1课时基本不等式A级基础巩固一、选择题1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(D)A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][解析] 2x>0,2y>0，∴2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时，等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，∴x＋y≤－2.2．(2019·山东昌乐一中高二月考)设a，b满足2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，则＋的最小值为(A)A．B．C．D．4[解析] 2a＋3b＝6，∴＋＝1，∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝＋2＝，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．3．(2019·江西弋阳一中高二月考)下列结论正确的是(D)A．当x＞0，x≠1时，lgx＋≥2B．当x≥2时，x＋的最小值为2C．当x∈R时，x2＋1＞2xD．当x＞0时，＋的最小值为2[解析]当0＜x＜1时，lgx＜0，排除A；当x≥2时，y＝x＋单调递增，ymin＝2＋＝，排除B；当x＝1时，x2＋1＝2x，排除C，故选D．4．函数f(x)＝的最大值为(B)A．B．C．D．1[解析]令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝.当t＝0时，f(x)＝0；当t>0时，f(x)＝＝. t＋≥2，∴0<≤.∴f(x)的最大值为.5．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是(D)A．0B．1C．2D．4[解析]由等差、等比数列的性质得＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.6．设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有(B)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－1b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2.故选B．二、填空题7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__[，＋∞)__.[解析]令f(x)＝(x>0)＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，∴a≥f(x)max＝.8．已知正数x、y满足x＋2y＝2，则的最小值为__9__.[解析]因为x、y为正数，且x＋2y＝2，所以＝(＋)·(＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9.三、解答题9．已知x>0，y>0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．[解析](1) x>0，y>0，由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.又 2x＋5y＝20，∴20≥2·，∴≤，∴xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．由，解得.∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，umax＝1.(2)由已知，得x·y＝100，5x＋2y≥2＝2＝20.∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，y＝5时，等号成立．所以5x＋2y的最小值为20.10．已知直角三角形两条直角边的和等于10cm，求面积最大时斜边的长．[解析]设一条直角边长为xcm，(02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．2．(2019·福建莆田一中高二月考)某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(B)A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥[解析] 这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤，等号在1＋a＝1＋b，即a＝b时成立．∴选B．3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是(A)A．B．－C．1D．－1[解析]由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)＝≤×()2＝，等号成立时2x＝2－2x，即x＝，y＝1，∴xy的最大值为.4．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(A)A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一[解析]因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2...