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高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象达标训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

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1.4.1正弦函数、余弦函数的图象更上一层楼基础•巩固1.函数y=lgsinx+的定义域是()A.(-4,-π)B.(0,π)C.(-4,-π)∪(0,π)D.(-4,-π)∪[0,π]思路分析:当sinx>0且16-x2>0时函数有意义,所以要求画图如图.当0<x<π时,sinx>0,与-4<x<4取公共部分得解为(-4,-π)∪[0,π],故选D.答案:D2.点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标是()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)思路分析:令Q(x,y),由三角函数的定义得,.答案:A3.在(0,2π)上,使sinx>cosx成立的x的取值范围是()A.(,)∪(π,)B.(,π)C.(,)D.(,π)∪(,)思路分析一:作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标和,由图(1)可得答案C.(1)(2)思路分析二:如图(2),在单位圆中作出第一、三象限的角平分线,由正弦线、余弦线可知应选C.答案:C4.设函数f(x)=sinx,x∈R,对于以下三个命题:①函数f(x)的值域是[-1,1];②当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值1;③当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3思路分析:作出正弦函数y=sinx,x∈R的图象(如图).从图中可以看出①②正确,③错误.答案:C综合•应用5.设M和m分别是函数y=cosx-1的最大值和最小值,则M+m=_________.思路分析:,∴M+m=.答案:-26.试确定满足|cosα|>|sinα|的角α的范围.思路分析一:如图所示,作出单位圆.∵|cosα|=|sinα|的角在0到2π之间有四个:,,,,|cosα|>|sinα|的角在图中阴影部分(不含边界).故2kπ-<α<2kπ+,k∈Z或2kπ+<α<2kπ+,k∈Z,即nπ-<α<nπ+,n∈Z.思路分析二:在[0,2π]内作出y=|sinx|,y=|cosx|的图象,如图.从图中可以看出满足|cosα|>|sinα|的角是2kπ≤α<2kπ+,k∈Z或2kπ+<α<2kπ+,k∈Z或2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z.其中,2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z可化为2kπ-<α<2kπ.故满足|cosα|>|sinα|的角是nπ-<α<nπ+,n∈Z.7.已知角α的顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,若角α的终边经过点P(,y)且sinα=(y≠0),试判断角α所在的象限,并求cosα和tanα的值.解:依题意,点P到原点O的距离为r=|PO|=,∴sinα=.∵y≠0,∴9+3y2=16.∴y2=.∴y=±.∴r=.∴角α是第二或第三象限角.当角α是第二象限角时,y=,cosα=,tanα=;当角α是第三象限角时,y=,同理可得cosα=,tanα=.8.烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的.如图1-4-9所示,现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头(两个圆柱呈垂直状).如图1-4-9(1),若烟筒的直径为12cm,最短母线为6cm,应将铁皮如何剪裁,才能既省工又省材料?图1-4-9解:如图所示,两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角,设O是圆柱的轴与截面的交点,过O作水平面,它与截面的交线为CD,它与圆柱的交线是以O为圆心的圆,CD是此圆的直径,又设B是这个圆上任意一点,过点B作BE垂直CD于点E,作圆柱的母线AB,交截面与圆柱的交线于点A,易知∠AEB=45°,所以AB=BE.设BD弧长为x,它所取的圆心角∠DOB=α,根据弧长公式,α=,又设AB=y,由Rt△BOE中,sinα=,故BE=6sinα,从而y=AB=BE=6sinα,即y=6sin.铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin(0≤x≤12π),其图象如图(4).因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来,正好可以完全吻合,所以最节约且最省工的裁剪方式如图(5).回顾•展望9.(2006临沂统考)作函数y=cotxsinx的图象.思路分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图象.函数y=cotxsinx的图象即是y=cosx(x≠kπ,k∈Z)的图象,因此作出y=cosx的图象,但要把x=kπ,k∈Z的这些点去掉.解:当sinx≠0,即x≠kπ(k∈Z)时,有y=cotxsinx=cosx,即y=cosx(x≠kπ,k∈Z).其图象如图.

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