高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象达标训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象更上一层楼基础•巩固1.函数y=lgsinx+的定义域是()A.(-4，-π)B.(0，π)C.(-4，-π)∪(0，π)D.(-4，-π)∪［0，π］思路分析：当sinx＞0且16-x2＞0时函数有意义，所以要求画图如图.当0＜x＜π时，sinx＞0，与-4＜x＜4取公共部分得解为(-4，-π)∪［0，π］，故选D.答案：D2.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标是()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)思路分析：令Q(x,y)，由三角函数的定义得，.答案：A3.在(0，2π)上，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是()A.(，)∪(π，)B.(，π)C.(，)D.(，π)∪(，)思路分析一：作出在(0，2π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图(1)可得答案C.(1)(2)思路分析二：如图(2)，在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线、余弦线可知应选C.答案：C4.设函数f(x)=sinx，x∈R，对于以下三个命题：①函数f(x)的值域是［-1，1］；②当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时，f(x)取得最大值1；③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+(k∈Z)时，f(x)＜0.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3思路分析：作出正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如图).从图中可以看出①②正确，③错误.答案：C综合•应用5.设M和m分别是函数y=cosx-1的最大值和最小值，则M+m=_________.思路分析：，∴M+m=.答案：-26.试确定满足|cosα|＞|sinα|的角α的范围.思路分析一：如图所示，作出单位圆.∵|cosα|=|sinα|的角在0到2π之间有四个：，，，，|cosα|＞|sinα|的角在图中阴影部分(不含边界).故2kπ-＜α＜2kπ+，k∈Z或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z，即nπ-＜α＜nπ+，n∈Z.思路分析二：在［0，2π］内作出y=|sinx|，y=|cosx|的图象，如图.从图中可以看出满足|cosα|＞|sinα|的角是2kπ≤α＜2kπ+，k∈Z或2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z或2kπ+＜α＜2kπ+2π，k∈Z.其中，2kπ+＜α＜2kπ+2π，k∈Z可化为2kπ-＜α＜2kπ.故满足|cosα|＞|sinα|的角是nπ-＜α＜nπ+，n∈Z.7.已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，若角α的终边经过点P(，y)且sinα=(y≠0)，试判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值.解：依题意，点P到原点O的距离为r=|PO|=，∴sinα=.∵y≠0，∴9+3y2=16.∴y2=.∴y=±.∴r=.∴角α是第二或第三象限角.当角α是第二象限角时，y=,cosα=，tanα=；当角α是第三象限角时，y=，同理可得cosα=，tanα=.8.烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的.如图1-4-9所示，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头(两个圆柱呈垂直状).如图1-4-9(1)，若烟筒的直径为12cm，最短母线为6cm，应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省材料？图1-4-9解：如图所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的交点，过O作水平面，它与截面的交线为CD，它与圆柱的交线是以O为圆心的圆，CD是此圆的直径，又设B是这个圆上任意一点，过点B作BE垂直CD于点E，作圆柱的母线AB，交截面与圆柱的交线于点A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE.设BD弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α，根据弧长公式，α=，又设AB=y，由Rt△BOE中，sinα=，故BE=6sinα，从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin.铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin(0≤x≤12π)，其图象如图(4).因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工的裁剪方式如图(5).回顾•展望9.(2006临沂统考)作函数y=cotxsinx的图象.思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象.函数y=cotxsinx的图象即是y=cosx(x≠kπ，k∈Z)的图象，因此作出y=cosx的图象，但要把x=kπ，k∈Z的这些点去掉.解：当sinx≠0，即x≠kπ(k∈Z)时，有y=cotxsinx=cosx，即y=cosx(x≠kπ，k∈Z).其图象如图.