第9讲直线与圆锥曲线的位置关系1．(2014年新课标Ⅱ)设点F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝()A.B．6C．12D．72．(2015年山东日照模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A.B.C.D.3．已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过点P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝14．(2013年新课标Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝15．如图X791，抛物线y2＝4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|＋|BF|＝6，则点D的横坐标为____________．图X791图X7926．如图X792，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是______________．7．椭圆x2＋4y2＝4的长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________．8．(2015年江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．9．(2015年陕西)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图X793，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．图X79310．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的长轴长等于圆C2：x2＋y2＝4的直径，且C1的离心率等于.直线l1和l2是过点M(1,0)且互相垂直的两条直线，l1交C1于A，B两点，l2交C2于C，D两点．(1)求C1的标准方程；(2)求四边形ACBD的面积的最大值1第9讲直线与圆锥曲线的位置关系1．C解析：由点F为抛物线C：y2＝3x的焦点，得F.则过点F且倾斜角为30°的直线为y＝，与抛物线y2＝3x联立，得16x2－168x＋9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.2．A解析：将y＝1－x代入ax2＋by2＝1，整理，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.x1＋x2＝，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝，因此AB的中点坐标为，＝＝.3．B解析：由双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，可设双曲线的方程为－＝1(a2＋b2＝9)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，即－＝1，－＝1.则kAB＝＝·＝·＝＝1.则＝.解得b2＝5，a2＝4.故E的方程为－＝1.4．D解析：由中点弦的点差法可求出直线斜率k＝＝，且a2＝b2＋c2，所以可得出＋＝1.5．4解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋3，联立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0.∴x1＋x2＝.由抛物线的性质，得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝4.因此＝4.解得k＝或k＝－2.由题图可知，k＝－2，因此直线AB的方程为y＝－2x＋3，AB的中点坐标为(2，－1)，线段AB的垂直平分线为y＋1＝(x－2)．令y＝0，得x＝4.6．y2＝3x解析：方法一，过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|. |BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|.∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6.∴|CF|＝3.∴p＝|CF|＝.∴抛物线的方程为y2＝3x.方法二，由抛物线的定义，知|BF|等于点B到准线的距离，由|BC|＝2|BF|，得∠BCB1＝30°.又|AF|＝3，从而A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝，或p＝.由题图知，点F在点A左侧，∴3－>.∴p<3.∴p＝不符合题意，舍去．∴抛物线的方程为y2＝3x.7.解析：由点A为直角顶点，得直角边的斜率为1和－1.设A(－2,0)，则一条直角边的方程为y＝x＋2，联立得5x2＋16x＋12＝0，即x1＝－，x2＝－2(舍去)．此时y＝x＋2＝，则三角形的另一个顶点为C.故|AC|＝，该三角形的面积是×2＝.8.解析：设P(x，y)(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离恒大于直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间的距离，因此c的最大值为直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间的距离为＝.9．解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到直线的距离d＝＝...
