专题07平面向量的线性运算及其应用（热点难点突破）1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝()A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)【答案】C【解析】DA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．2．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A.AB＋ADB．AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋AD【答案】B【解析】因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.3．已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°4．将OA＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得OB的横坐标x＝cos(60°＋45°)＝＝，纵坐标y＝sin(60°＋45°)＝＝，则OB＝，故选A.5．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于()A．－B．C.D．36．已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(1，]D．(－1,0)【答案】B【解析】由题意可得OD＝kOC＝kλOA＋kμOB(01，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.7．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.D．－【答案】B【解析】 n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.8．如图33，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于()图33A．－B．－C．－D．－【答案】B【解析】 BF＝2FO，圆O的半径为1，∴|FO|＝，∴FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO2＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝2＋0－1＝－.9．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P在y＝cosx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足OQ＝m⊗OP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间上的最大值是()A．4B．2C．2D．2【答案】A【解析】因为点P在y＝cosx的图象上运动，所以设点P的坐标为(x0，cosx0)，设Q点的坐标为(x，y)，则OQ＝m⊗OP＋n⇒(x，y)＝⊗(x0，cosx0)＋⇒(x，y)＝⇒即⇒y＝4cos，即f(x)＝4cos，当x∈时，由≤x≤⇒≤2x≤⇒0≤2x－≤，所以≤cos≤1⇒2≤4cos≤4，所以函数y＝f(x)在区间上的最大值是4，故选A.10．已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝__________.【答案】2【解析】由题意得|a|＝＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cos|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．11．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0,且|AB－AC|＝2，点D是△ABC中BC边的中点，则AB·BD＝________.【答案】－312．在如图32所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．图32【答案】【解析】设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，∴∴则的值为.13．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．【答案】14．已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则OB·OC＝__________.【答案】－【解析】 △ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分线，且AO＝，∴OB·OC＝(AB－AO)·(AC－AO)＝AB·AC－AO·AC－AO·AB＋AO2＝1×1×cos60°－×1×cos30°－×1×cos30°＋2＝－.15．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b夹角的大小为________．解析：|a＋xb|≥|a＋b|恒成立⇒a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2恒成立⇒x2＋2a·bx－1－2a·b≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b)2－4(－1－2a·b)≤0(⇒a·b＋1)2≤0，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，...
