课时作业(三十七)两角和与差的正弦、余弦、正切公式[练基础]1．sin105°的值为()A.B.C.D.2．已知sin(π＋α)＝，|α|<，则cos＝()A.B.C.D.3．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝()A．－B.C．－D.4．已知tan＝2，则tanα＝________.5．已知cos＝，则cosα＝________.6．已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.[提能力]7．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝，下列各式正确的是()A．tan(A＋B)＝－B．tanA＝tanBC．cosB＝sinAD．tanA·tanB＝8．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A.B.C．－D．－9．已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．[战疑难]10．是否存在锐角α，β，使得：(1)α＋2β＝；(2)tan·tanβ＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，请说明理由．课时作业(三十七)两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．解析：sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝×＋×＝.答案：D2．解析：∵sin(π＋α)＝－sinα＝，∴sinα＝－.又|α|<，∴cosα＝＝，∴cos＝cosαcos－sinαsin＝×＋×＝.答案：B3．解析：因为cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝－.答案：A4．解析：tan＝tan＝tan＝2，∴tanα＝tan＝＝－3.答案：－35．解析：由于0<α－<，cos＝，所以sin＝.所以cosα＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.答案：6．解析：∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，∴sin(α＋β)＝－.答案：－7．解析：∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝tan60°＝，A错；∵tanA＋tanB＝(1－tanAtanB)＝，∴tanA·tanB＝①，∴D正确；又tanA＋tanB＝②，由①②联立解得tanA＝tanB＝，所以cosB＝sinA，故B、C正确．故选BCD.答案：BCD8.解析：如图，设AD＝a，则AB＝a，CD＝2a，AC＝a，∴sinα＝cosα＝，sinβ＝，cosβ＝，∴cosA＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.答案：C9．解析：∵tanα＝<1且α为锐角，∴0<α<.又∵sinβ＝<＝且β为锐角．∴0<β<，∴0<α＋2β<.①由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，∴tanβ＝.∴tan(α＋β)＝＝＝.∴tan(α＋2β)＝＝＝1.②由①②可得α＋2β＝.10．解析：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tantanβ＝2－同时成立．由(1)得＋β＝，所以tan＝＝.又因为tantanβ＝2－，所以tan＋tanβ＝3－.因此tan，tanβ可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解该方程得x1＝1，x2＝2－.若tan＝1，则α＝.这与α为锐角矛盾．所以tan＝2－，tanβ＝1，所以β＝，α＝－2β＝.所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
