宜宾市一中2013级数学组第四周周考(范围：§2.4～§2.9)一、选择题1．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)()A．在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增B．在(－∞，3)上单调递增C．在[1,3]上单调递增D．单调性不能确定答案A解析画出函数f(x)的草图如图．易知f(x)的对称轴为x＝＝2，故f(x)在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)等于()A．－1B．－3C．1D．3答案A解析由题意得，f(－2)＝－f(2)＝－log3(1＋2)＝－1.3．(2014·辽宁)已知a＝132，b＝log2，c＝121log3，则()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a答案C解析0
121log2＝1，即01，所以c>a>b.4．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是()答案D解析方法一当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．5．已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x<1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是()A．(0，]∪(5，＋∞)B．(0，)∪[5，＋∞)C．(，]∪(5,7)D．(，)∪[5,7)答案A解析由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点可转化成y＝f(x)与h(x)＝loga|x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论．若a>1，则h(5)＝loga5<1，即a>5.若01(舍)；综上可知：x＝1.8．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：2①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．答案①③④解析根据已知条件可知f(x)＝lg(x≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数的性质可知命题④成立；命题②，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题⑤中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④.三、解答题9．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．解(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)．∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，∴f(x)＝(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．10．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0得－1
