2016-2017学年高中数学第三章推理与证明4反证法课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个不”对立面是“都”，故反设正确的是B.答案：B2．下列命题错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数解析：a＋b为奇数⇔a、b中有一个是奇数，另一个是偶数．答案：D3．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法证明a＞0，b＞0，c＞0时的反设为()A．a＜0，b＜0，c＜0B．a≤0，b＞0，c＞0C．a、b、c不全是正数D．abc＜0答案：C4．设a、b、c都是正数，则三个数a＋、b＋、c＋()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析：a＋＋b＋＋c＋＝＋＋≥6，故三个数中至少有一个不小于2.答案：D二、填空题5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：考查反证法的一般步骤．答案：③①②6．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝___________________________________________________________________1＝________________________________________________________________________＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．解析：乘积为奇数，则每一个正整数就为奇数，再利用求和、求差而得到结论．答案：a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)三、解答题7．已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4都不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100.这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设不成立．所以，a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.8．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．解析：设三个方程均无实根，则有：，解得.即－
