专题强化练十二直线与圆一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－B．－C.D．2解析：圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心为(1，4)，由题意得d＝＝1，解得a＝－.答案：A2．(2018·安徽合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：圆C的圆心的坐标C(6，8)，则OC的中点坐标为E(3，4)，则所求圆的半径|OE|＝＝5，则以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.答案：C3．(2018·昆明诊断)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要解析：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0⇔m＝±1.所以命题p是命题q的充分不必要条件．答案：A4．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0解析：依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k＝－2，故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.答案：B5．(2018·广东深圳二模)已知点P(1，m)在椭圆＋y2＝1的外部，则直线y＝2mx＋与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相离B．相交C．相切D．相交或相切解析：由点P(1，m)在椭圆＋y2＝1的外部，得m2＞，则圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线y－2mx－＝0的距离d＝＜＜1，所以直线y＝2mx＋与圆x2＋y2＝1相交．答案：B6．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A．10B．9C．10D．9解析：易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，所以最短弦的长为2＝2＝2，故所求四边形的面积S＝×10×2＝10.答案：C二、填空题7．(2018·河南郑州一模)如果直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，则a＝________．解析：因为直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，即直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y－(a－7)＝0平行，所以＝≠，解得a＝3.答案：38．(2018·青岛质检)已知抛物线y＝ax2(a＞0)的准线为l，若l与圆C：(x－3)2＋y2＝1相交所得弦长为，则a＝________．解析：由y＝ax2，得x2＝，所以准线l的方程为y＝－.又l与圆C：(x－3)2＋y2＝1相交的弦长为.所以＋＝1，则a＝.答案：9．在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：直线mx－y－2m－1＝0恒过定点P(2，－1)，当AP与直线mx－y－2m－1＝0垂直，即点P(2，－1)为切点时，圆的半径最大，所以半径最大的圆的半径r＝＝.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝2三、解答题10．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标．解：圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心C(－1，2)，半径r＝.由|PM|＝|PO|，得|PO|2＝|PM|2＝|PC|2－|CM|2，所以x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2.整理，得2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线2x－4y＋3＝0上，要使|PM|取最小值时，只要|PO|取最小值即可，当直线PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即直线PO的方程为2x＋y＝0时，|PM|最小．解方程组得故使|PM|取得最小值时，点P的坐标为.11．已知过点A(1，0)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为l与圆C交于两点，所以＜1，解得＜k＜.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1，故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
