高考数学一轮复习 考点题型 课下层级训练05 基本不等式（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

课下层级训练(五)基本不等式[A级基础强化训练]1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A．a＋b≥2B．＋≥2C．≥2D．a2＋b2＞2ab【答案】C[对A，当a＜0，b＜0时不成立；对B，只有当a，b同号时成立；对D，当a＝b时，有a2＋b2＝2ab；对C，由于与同号，满足，综上可知C正确．]2．(2019·黑龙江大庆月考)当x>0时，函数f(x)＝有()A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2【答案】B[f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.]3．(2019·山东临沂月考)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【答案】D[由1＝2x＋2y≥2·，变形为2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号，则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．]4．(2019·山东枣庄月考)高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低．设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在()A．2楼B．3楼C．4楼D．8楼【答案】B[由题意知，同学们总的不满意度y＝n＋≥2＝4，当且仅当n＝，即n＝2≈3时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在3楼．]5．设a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是()A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D．[0，]【答案】A[∵a2＋b2＝10，∴由基本不等式a2＋b2≥2ab得2(a2＋b2)≥2ab＋a2＋b2＝(a＋b)2，即(a＋b)2≤2(a2＋b2)＝20，∴－2≤a＋b≤2.]6．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________.【答案】4[由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号．]7．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.【答案】30[设总费用为y万元，则y＝×6＋4x＝4≥240.当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立．]8．(2019·山东威海检测)已知a＞0，则的最小值为________.【答案】－1[＝＝4a－5＋.∵a＞0，∴4a－5＋≥2－5＝－1，当且仅当4a＝，即a＝时取等号，∴的最小值为－1.]9．若a>0，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．【答案】解：(1)因为a>0，b>0，且＋＝，所以＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号．因为a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)可知，2a＋3b≥2＝2≥4>6，故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立．[B级能力提升训练]10．(2019·山东青岛模拟))已知a＞b，ax2＋2x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，则的最小值为()A．1B．C．2D．2【答案】D[∵ax2＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立，∴又∵∃x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，∴Δ＝4－4ab≥0，故只能4－4ab＝0，即ab＝1.∴＝＝(a－b)＋≥2.]11．(2019·山东潍坊检测)设正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值为________.【答案】1[因为a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由基本不等式有＋≥2＝，当且仅当a＝2b即时取等号，故所求最小值为1.]12．定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.【答案】[由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．]13．(2019·福建厦门月考)某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】解(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－，每件产品的销售价格为1.5×(元)，∴2018年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．