压轴提升卷(四)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1．(本题满分12分)(2018·陕西省黄陵中学二模)设动圆P(圆心为P)经过定点(0，2)，被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设不经过坐标原点O的直线l与C交于A、B两点，O在以线段AB为直径的圆上，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标．解：(1)设动圆P圆心为(x，y)，半径为r，被x轴截得的弦为|AB|.依题意得：化简整理得：x2＝4y.所以，点P的轨迹C的方程x2＝4y.(2)设不经过坐标原点O的直线l的方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)则解得：x2－4kx－4b＝0，x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4b又∵O在以线段AB为直径的圆上，∴OA·OB＝0即x1x2＋y1y2＝0，又y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b.x1x2＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0.x1x2＋k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝0，－4b－4k2b＋4k2b＋b2＝0，b2－4b＝0，b＝4或b＝0(舍去)．所以直线l经过定点(0，4)．2．(本题满分12分)(2018·淄博市高三诊断)已知函数g(x)＝x4，x∈R，在点(1，g(1))处的切线方程记为y＝m(x)，令f(x)＝m(x)－g(x)＋3.(1)设函数f(x)的图象与x轴正半轴相交于P，f(x)在点P处的切线为l，证明：曲线y＝f(x)上的点都不在直线l的上方；(2)关于x的方程f(x)＝a(a为正实数)有两个实根x1，x2，求证：|x2－x1|＜2－.证明：(1)g′(x)＝4x3，切线斜率k＝g′(1)＝4，可得m(x)＝4x－3，所以f(x)＝4x－x4，f′(x)＝4(1－x3)，由f(x)＝4x－x4＝0，得x＝0或x＝4，所以点P由f′(x)＝4(1－x3)，得：f′(4)＝－12，所以曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝－12设φ(x)＝－12(x－4)，令F(x)＝f(x)－φ(x)，即F(x)＝4x－x4＋12(x－4)则F′(x)＝4－4x3＋12＝4(4－x3)，所以当x∈时，F′(x)＞0，当x∈时，F′(x)＜0，所以F(x)在内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，所以对任意实数x都有F(x)≤F(4)＝0，即φ(x)≥f(x)．所以曲线y＝f(x)上的点都不在直线l的上方．(2)解法一：不妨设x1≤x2，设方程φ(x)＝a的根为x′2，可得x2′＝4－，显然φ(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以φ(x2)≥f(x2)＝a＝φ(x2′)，可得x2≤x2′.设曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝h(x)，可得h(x)＝4x.则f(x)－h(x)＝－x4≤0，即对任意x∈R，都有h(x)≥f(x)，设方程h(x)＝a的根为x1′，可得x1′＝，因为h(x)＝4x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以h(x1)≥f(x1)＝a＝h(x1′)，可得x1≥x1′，由此可得|x2－x1|≤x2′－x1′＝4－－＝4－＜2－，所以|x2－x1|＜2－.解法二：不妨设x1≤x2，显然有f(x)≤h(x)，方程4x＝a的根是x1′＝，所以4x1′＝a＝f(x1)≤4x1，即：x1≥x1′，所以|x2－x1|≤x2－x1′，所以欲证明|x2－x1|＜2－，只需证明x2－x′＜2－，即证x2－＜2－，即x2＜2－，又f(x2)＝a＝4x2－x.所以即证：x－16x2＋24＞0令F(x)＝x4－16x＋24，则F′(x)＝4x3－16＝4(x3－4)，所以当x∈时，F′(x)＜0，当x∈(4，＋∞)时，F′(x0)＞0.所以F(x)在(－∞，4)内单调递减，在(4，＋∞)内单调递增，所以对任意实数x都有F(x)≥F(4)＝12(2－)＞0，所以不等式x－16x2＋24＞0成立，所以|x2－x1|＜2－成立．
