专题强化练八等差数列与等比数列一、选择题1．(2018·佛山质检)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根，那么S11的值为()A．44B．－44C．55D．－55解析：依题意，a5＋a7＝－10，由等差数列的性质得，a6＝(a5＋a7)＝－5.所以S11＝11a6＝11×(－5)＝－55.答案：D2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12解析：设等差数列{an}的公差为d，且3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d.又a1＝2，得d＝－3.所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.答案：B3．(2018·衡水中学第二次调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝1＋2an(n≥2)，且a1＝2，则S20＝()A．219－1B．221－2C．219＋1D．221＋2解析：因为Sn＝1＋2an(n≥2)，且a1＝2，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1＋2an－(1＋2an－1)，化为an＝2an－1，所以数列{an}是等比数列，公比和首项都为2.所以S20＝＝221－2.答案：B4．(2018·北京燕博园能力测试)数列{an}的前n项和为Sn，且3an＋Sn＝4(n∈N*)，设bn＝nan，则数列{bn}的项的最大值为()A.B.C.D．2解析：由条件可知，3an＋Sn＝4，3an－1＋Sn－1＝4(n≥2)．相减，得an＝an－1.又3a1＋S1＝4a1＝4，故a1＝1，则an＝，bn＝n.设{bn}中最大的项为bn，则即解得3≤n≤4，所以数列{bn}的项的最大值为b3＝b4＝.答案：B二、填空题5．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．解析：设{an}的公差为d，依题设a2＋a5＝2a1＋5d＝6＋5d＝36，所以d＝6，因此an＝3＋6(n－1)＝6n－3.答案：an＝6n－36．数列{an}满足an＋1＝，a3＝，则a1＝________．解析：易知an≠0，且an＋1＝.所以－＝2，则是公差为2的等差数列，又a3＝，知＝5，所以＋2×2＝5，则a1＝1.答案：17．等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为________．解析：由题意知由d≠0，解得所以＝＝－3＋n－1＝n－4.由n－4≥0，得n≥4，且＝0，所以数列的前n项和取最小值时n的值为3或4.答案：3或4三、解答题8．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.解：(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)因为ea1＝eln2＝2，＝ean－an－1＝eln2＝2.所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2.9．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解：(1)设{an}的公比为q，由题设可得解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)得Sn＝＝＝[(－2)n－1]，则Sn＋1＝[(－2)n＋1－1]，Sn＋2＝[(－2)n＋2－1]，所以Sn＋1＋Sn＋2＝[(－2)n＋1－1]＋[(－2)n＋2－1]＝[2(－2)n－2]＝[(－2)n－1]＝2Sn，所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．10．(2018·湖南师大附中质检)在公比为q的等比数列{an}中，已知a1＝16，且a1，a2＋2，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若q＜1，求满足a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＞10的最小正整数n的值．解：(1)依题意，2(a2＋2)＝a1＋a3，且a1＝16.所以2(16q＋2)＝16＋16q2，即4q2－8q＋3＝0.因此q＝或q＝.当q＝时，an＝16·＝25－n；当q＝时，an＝16·.(2)由(1)知，当q＜1时，an＝25－n，则a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＝＝由＞10，得＜.所以n＞2，所以正整数n的最小值为3.
