第九节圆锥曲线的综合问题☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解圆锥曲线的简单应用；2.理解数形结合的思想；3.掌握解决直线和圆锥曲线位置关系的方法。2016，全国卷Ⅰ，20,12分(取值范围问题)2016，全国卷Ⅱ，20,12分(取值范围问题)2016，山东卷，21,14分(最值问题)2016，北京卷，19,14分(定值问题)本部分内容要求较高，思维量和运算量都比较大，主要考查学生的思维品质和解决问题的能力。命题主要方向是考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点和定值、最值和范围以及证明某些几何问题、解决一些探索性问题等。微知识小题练自|主|排|查1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点。(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断。设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0。由消元。(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0。①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)。②若a≠0，设Δ＝b2－4ac。a．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点。2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|＝＝·|x1－x2|＝＝|y1－y2|。(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)。3．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝。在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0。微点提醒1．弦长公式使用时要注意直线的斜率情况，对于斜率不存在的直线要单独处理，对于抛物线中的过焦点的弦要使用其特定的公式。2．直线与双曲线或与抛物线的交点问题比直线与椭圆的交点问题更为复杂，除了可以利用方程分析，还可以结合图象分析。小|题|快|练一、走进教材1．(选修2－1P71例6改编)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)。故选C。【答案】C2．(选修2－1P69例4改编)直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________。【解析】当直线l的斜率不存在时，显然不成立。设直线l的斜率为k，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为直线l过焦点F(1,0)，故直线l的方程为y＝k(x－1)。由得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则所以|AB|＝|x1－x2|＝＝＝＝8，所以k2＝1，故k＝±1。所以直线l的方程为y＝±(x－1)，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0。【答案】x－y－1＝0或x＋y－1＝0二、双基查验1．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点。故选A。【答案】A2．(2016·锦州模拟)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为()A．4B．8C．12D．16【解析】抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16。故选D。【答案】D3．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．5B.＋C．7＋D．6【解析】圆心M(0,6)，设椭圆上的点为Q(x，y)，则|MQ|＝＝＝，当y＝－∈[－1,1]时，|MQ|max＝5。所以|PQ|m...
