章末综合测评(二)解三角形(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列关系式①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC，一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个C[由正弦定理知①正确，由余弦定理知③正确；②中由正弦定理得sinA＝sinBcosC＋cosBsinC，显然成立；④中由正弦定理得sinB＝2sinAsinC，未必成立．]2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝bc且＝2，则A等于()A．B．C．D．A[由＝2，得＝2，∴＝2，即c＝2b，把c＝2b代入a2－b2＝bc，得a＝b，∴cosA＝＝＝．又A∈(0，π)，则A＝．]3．在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是()A．B．(10，＋∞)C．(0,10)D．D[由正弦定理可知c＝＝sinC，因为0＜sinC≤1，所以0＜c≤，即c∈，故选D．]4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－B．C．－D．B[设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cosθ＝＝．]5．已知△ABC的外接圆的半径是3，a＝3，则A等于()A．30°或150°B．30°或60°C．60°或120°D．60°或150°A[由正弦定理得sinA＝＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝30°或150°．]6．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为()A．B．C．D．3B[由题意得cosA＝＝，∴sinA＝＝，∴边AC上的高h＝ABsinA＝．]7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝()A．6B．5C．4D．3A[由asinA－bsinB＝4csinC，得a2－b2＝4c2， cosA＝－，∴＝cosA＝－，∴＝－，∴＝6．]8．在△ABC中，A＝，a＝，b＝4，则满足条件的△ABC()1A．不存在B．有一个C．有两个D．不确定A[由正弦定理＝，∴sinB＝＝＝>1，∴B不存在．]9．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D向北偏东30°前进100m到达点C，在C点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150mA[如图，AB为水柱，高度设为h，D在A的正西方向，C在D的北偏东30°方向．且CD＝100m，∠ACB＝30°，∠ADB＝45°．在△ABD中，AD＝h，在△ABC中，AC＝h．在△ACD中，∠ADC＝60°，由余弦定理得cos60°＝＝，∴h＝50或－100(舍)．]10．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5D[由倍角公式得23cos2A＋cos2A＝25cos2A－1＝0，cos2A＝，△ABC为锐角三角形cosA＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－b－13＝0．即5b2－12b－65＝0，解方程得b＝5．]11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为，则b等于()A．1＋B．C．D．2＋A[由已知acsin30°＝，2b＝a＋c，∴ac＝6，∴b2＝a2＋c2－2accos30°＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，∴b＝＋1．]12．在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为()2A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形B[ 2acosB＝c，∴2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0．∴A＝B．又 sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，∴sinAsinB＝sin2＋，∴2sinAsinB＝sin2＋，∴2sinAsinB＝1，即sin2A＝， 0
