高中数学 学业分层测评15（含解析）北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)【解析】由准线过已知点可求出p的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．【答案】B2．设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是()A．4B．5C．6D．7【解析】抛物线C的准线方程为x＝－1，设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义知，|PF|＝d(d为点P到抛物线C的准线的距离)，又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5.【答案】B3．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝()A．2B．4C．6D．8【解析】 △OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． 外接圆的圆面积为9π，∴圆的半径为3，又 圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4.【答案】B4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x【解析】设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.【答案】A5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|P1F|＋|P2F|＝|FP3|B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F|【解析】因为P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2＝x1＋＋x3＋，即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|，故选C.【答案】C1二、填空题6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．【解析】椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，抛物线y2＝2px的焦点为.∴＝2，∴p＝4.【答案】47．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则抛物线的准线方程为________．【导学号：32550075】【解析】圆方程为(x－3)2＋y2＝16.抛物线y2＝2px的准线为x＝－，∴3－＝4，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－1.【答案】x＝－1.8．已知P是抛物线y2＝4x上的动点，过P作抛物线准线的垂线，垂足为点M，N是圆(x－2)2＋(y－5)2＝1上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值是________．【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆(x－2)2＋(y－5)2＝1的圆心为Q(2,5)，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点N的距离与点P到抛物线的焦点距离之和最小为－1＝－1.【答案】－1三、解答题9．已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离．【解】如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A、B、M分别作AA′、BB′、MM′垂直于l，垂足分别为A′、B′、M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB的中点，由梯形中位线定理得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，则M到y轴的距离d≥－＝1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)，所以dmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.图32110．如图321，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．【解】(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是，4＋＝5，p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.2(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又F(1,0)，所以kAF＝.因为MN⊥FA，所以kMN＝－.则FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2.解方程组得所以N.[能力提升]1．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2)【解析】设A(x0，y0)，由题意可知F(1,0)，OA＝(x0，y0)，AF＝(1－x...