课时作业14双曲线的简单几何性质时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2C．4D．4解析：双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为4.答案：C2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－B．－4C．4D.解析：∵mx2＋y2＝1是双曲线，∴m<0，且其标准方程为y2－＝1.又∵其虚轴长是实轴长的2倍，∴－＝4，即m＝－.答案：A3．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±2x，则实数m等于()A．4B．8C．16D．32解析：由题意，得双曲线焦点在x轴上，且a2＝8，b2＝m，∴a＝2，b＝.又渐近线方程为y＝±2x，∴＝4.∴m＝32.答案：D4．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是()A．4B．2C．1D．－2解析：∵双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意．答案：A5．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是()A．(，2)B．(，)C．(2,5)D．(2，)解析：e＝＝＝＝.∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，1∴0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为______________．解析：∵2c＝4，∴c＝2，则b2＝c2－a2＝4－a2，故－＝1得a2＝1，a＝1，∴e＝＝2.答案：28．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________．解析：∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，∴双曲线C：－＝1的离心率e>，即>2.∴m>4.答案：(4，＋∞)9．(2010·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析：由条件知双曲线的焦点为(4,0)，所以解得a＝2，b＝2，故双曲线方程为－＝1.答案：－＝1三、解答题(共40分)10．(10分)(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求双曲线的离心率．(2)双曲线的离心率为，求双曲线的两条渐近线的夹角．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴＝或＝.当＝时，e＝；当＝时，e＝.(2)∵e＝＝，∴＝即a＝b，∴双曲线渐近线方程为y＝±x.∴双曲线两条渐近线的夹角为90°.11．(15分)设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，求双曲线的离心率．2解：∵AF1⊥AF2，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2.①∵|AF1|＝3|AF2|，∴点A在双曲线的右支上．则|AF1|－|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，|AF1|＝3a，代入到①式得(3a)2＋a2＝4c2，＝.∴e＝＝.12．(15分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．解：(1)设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(a，b，m，n>0，且a>b)，则解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，∴sin∠F1PF2＝.∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12.3
