高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程课时分层作业（含解析）新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高二选择性必修第一册数学试题VIP专享VIP免费

课时分层作业(二十三)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A．－＝1B．－＝1(x≥4)C．－＝1D．－＝1(x≥3)D[由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴M点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]2．若ax2＋by2＝b(ab＜0)，则这个曲线是()A．双曲线，焦点在x轴上B．双曲线，焦点在y轴上C．椭圆，焦点在x轴上D．椭圆，焦点在y轴上B[因为ab＜0，方程可化为＋y2＝1，∴＜0，方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－y2＝1D．x2－＝1C[由⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.]4．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A．22或2B．7C．22D．2A[根据双曲线的方程得2a＝2×5＝10，由定义知||PF|－12|＝10，可解得|PF|＝22或2，故选A.]5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A．B．1C．D．D[因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故选D.]二、填空题6．若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________．(－3,2)∪(3，＋∞)[依题意有或解得－3＜m＜2或m＞3.所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．]7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5.若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．26[根据双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8.∴|AF2|＋|BF2|＝16＋|AF1|＋|BF1|＝16＋|AB|＝16＋5＝21.所以△ABF2的周长是|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.]8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．x2－＝1[设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，所以解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1.]三、解答题9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．[解](1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．210．已知双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．[解]设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(不妨设r1＞r2)，θ＝∠F1MF2，因为S＝r1r2sinθ，θ已知，所以只要求r1r2即可，因此考虑到用双曲线定义及余弦定理的知识，求出r1r2.(1)当θ＝90°时，S＝r1r2sinθ＝r1r2.由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，由双曲线定义，得|r1－r2|＝2a＝4，两边平方，得r＋r－2r1r2＝16，又r＋r＝|F1F2|2，即|F1F2|2－4S＝16，也即52－16＝4S，求得S＝9.(2)若∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos120°＝(r1－r2)2＋3r1r2＝52，所以r1r2＝12，求得S＝r1r2sin120°＝3.同理，可求得若∠F1MF2＝60°，S＝9.(3)由以上结果可见，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．证明如下：由双曲线定义及余弦定理，得②－①，得r1r2＝，所以S＝r1r2sinθ＝＝b2cot.因为0＜θ＜π，所以0＜＜，在内，cot是减函数．因此当θ增大时，S＝b2cot减小．11．(多选题)设θ是三角形的一个内角，对于方程＋＝1的说法正确的是()A．当0＜θ＜时，...