2.2.1椭圆及其标准方程A级：基础巩固练一、选择题1．已知点A(－3,0)，B(0,2)在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1答案B解析由题意得解得m2＝9，n2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．直线C．射线D．圆答案A解析根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线，所以|MP|＝|PF|，所以|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)，又因为|MO|>|FO|，所以根据椭圆的定义可判断出点P的轨迹是以F，O两点为焦点的椭圆．3．方程＋＝10化简的结果是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案B解析由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝2，a＝5.所以b2＝a2－c2＝21，故化简结果为＋＝1.4．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A．2B．4C．6D.答案B解析设椭圆的另一个焦点为F2，因为椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，即|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝8.因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|＝|MF2|＝4.5．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是()A．(5,0)或(－5,0)B.或C．(0,3)或(0，－3)D.或答案C解析记F1(－4,0)，F2(4,0)，|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．1∴P应在椭圆短轴的端点，∴P(0,3)或(0，－3)．6．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)．如图所示，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A.，1B.，1C．5,3D．5,4答案A解析由题意知，a2－b2＝2＝，b2－c2＝2＝，∴a2－c2＝1.又a2＝b2＋c2，∴b2＝1，b＝1.∴a2＝，a＝.二、填空题7．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.答案8解析如图，由椭圆的定义知，|F1A|＋|F2A|＝2a＝10，|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，∴|AB|＝20－|F2A|－|F2B|＝20－12＝8.8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________.答案解析由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点．又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.9．(2018·上海金山中学高二期中)已知椭圆＋＝1的左、右顶点分别为A，B，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则＝________.答案解析设P(x0，y0)，则kAP·kBP＝·＝＝＝－，所以tanαtanβ＝－，故＝＝＝＝.三、解答题10．如图，已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1·PF2＝0.2(1)求椭圆的方程；(2)求△PF1F2的面积．解(1) PF1·PF2＝0，∴△PF1F2是直角三角形，∴|OP|＝|F1F2|＝c.又|OP|＝＝5，∴c＝5.∴椭圆方程为＋＝1.又P(3,4)在椭圆上，∴＋＝1，∴a2＝45或a2＝5.又a>c，∴a2＝5舍去．故所求椭圆方程为＋＝1.(2)由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝6，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，②由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×40＝20.B级：能力提升练1．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．解(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－，0)，F2(，0)．①在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°.②由①②得|PF1||PF2|＝.所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝.(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得PF1·PF2<0，即(－－x，－y)(－x，－y)<0.又y2＝1－，所以x2<2，解得－b>0)的左、右焦点．(1)若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点K是(1)...
