高中数学 电子题库 第二章6知能演练轻松闯关 北师大版选修2-1VIP免费

高中数学电子题库第二章6知能演练轻松闯关北师大版选修2-11.(2012·吉安检测)如图，已知平面αAB、平面ABβ的夹角为120°，AC在α内，BD在β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝a，则CD的长是()A．aB．2aC．3aD．4a解析：选B.因为CD＝CA＋AB＋BD，所以|CD|2＝(CA＋AB＋BD)·(CA＋AB＋BD)＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝a2＋a2＋a2＋2a2cos60°＝4a2，所以|CD|＝2a，CD＝2a.2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1到平面BDC1的距离为()A.aB.aC.aD.a解析：选D.明显A1C⊥面AB1D1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，BA＝(0，－a，0)，则两平面间的距离为d＝|BA·|＝＝a.3.(2012·南昌质检)已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________．解析： OA＝(－1，1，－1)，n＝(1，－1，1)，∴点A到平面α的距离为d＝＝＝.答案：4.在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，且AB＝AD＝1，BB′＝2，M，N分别是A′D′，D′C′的中点，则直线AC与直线MN的距离为________．解析：依据长方体的性质可知AC∥MN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离．由题意得AC＝(－1，1，0)，AM＝(0，，－2)．所以点M到直线AC的距离d＝1＝＝.答案：[A级基础达标]1.已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为()A.B.C.D.解析：选A.PA＝(－2，0，－1)，|PA|＝，PA·＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.2.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则平面α外点P(－2，1，4)到α的距离为()A．10B．3C.D.解析：选D.AP＝(－1，－2，4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，所以点P到α的距离d＝|AP·|＝＝.3.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B．1C.D.解析：选D.依题意，∠B1AB＝60°，如图BB1＝1×tan60°＝，故选D.4.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．解析：A1到平面AB1D1的距离为三棱锥A1－AB1D1的高h.由VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，可求S△AB1D1h＝S△A1B1D1·AA1，h＝.答案：25.已知空间四点A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离是________．解析：AB＝(2，－2，1)，AC＝(4，0，6)，设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则∴令x＝3，则z＝－2，y＝2，∴n＝(3，2，－2)．DA＝(7，7，－7)，n0＝＝(3，2，－2)．∴d＝|DA·n0|＝.答案：6.在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是BB′，CC′的中点．(1)求证AD∥平面A′EFD′；(2)求直线AD到平面A′EFD′的距离．解：(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， DA＝(a，0，0)，D′A′＝(a，0，0)，∴DA∥D′A′. D′A′平面A′EFD′，∴AD∥平面A′EFD′.(2)D′(0，0，a)，F(0，a，)，∴D′F＝，DF＝.设平面A′EFD′的法向量为n＝(x，y，z)，则n·D′F＝0，n·D′A′＝0，即不妨令z＝1，则n＝.∴DF在n上的投影的大小为d＝＝a.因此直线AD到平面A′EFD′的距离为a.[B级能力提升]7.如图，在空间直角坐标系中有棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是线段BB1、B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为()A.B.C.D.解析：选D.因为A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0)．所以AD1＝(－1，0，1)，MN＝(－，0，)．3所以MN＝AD1.又直线AD1与MN不重合，所以MN∥AD1.又MN平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.因为AD1＝(－1，0，1)，D1C＝(0，1，－1)，AC＝(－1，1，0)，设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，则所以所以x＝y＝z.令x＝1，则n＝(1，1，1)．又因为AM＝(1，1，)－(1，0，0)＝(0，1，)，n0＝(，，)，所以点M到平面ACD1的距离d＝|AM·n0|＝＋＝.8.已知三棱锥O－ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2.则点A到直线BC的距离为()A.B.C.D．3解析：选B.以O为坐标原点，建...